Характеристики рассеивания

Главная характеристика рассеивания вариационного ряда называется дисперсией. Выборочная дисперсия D,, рассчитывается по следующей формуле:

где Xj — i-я величина из выборки, встречающаяся т1 раз; п — объем выборки; х — выборочная средняя; k — количество различных значений в выборке. В рассматриваемом примере: хх = 72, тх = 50; х2 = 85, т2 = 44; х3 = 69, т3 = 61; п = 155; k = 3; х = 74,5. Тогда

Заметим, что чем больше значение дисперсии, тем сильнее отличие значений измеряемой величины друг от друга. Если в выборке все значения измеряемой величины равны между собой, то дисперсия такой выборки равна нулю.

Дисперсия обладает особыми свойствами.

  • 1. Значение дисперсии любой выборки неотрицательно, т.е. Dx| > 0.
  • 2. Если измеряемая величина постоянна (X = с), то дисперсия для такой величины равна нулю (D[c] = 0).
  • 3. Если все значения измеряемой величины х в выборке увеличить в с раз, то дисперсия данной выборки увеличится в с2 раз: Dcx = c2D[x, где с = const.

Иногда вместо дисперсии используют выборочное среднее квадратическое отклонение ств, которое равно арифметическому квадратному корню из выборочной дисперсии:

+lDv ?

Для рассмотренного примера выборочное среднее квадратическое отклонение равно <т„ = +7д>л/16^6 =4,11.

Дисперсия позволяет оценить не только степень различия измеряемых показателей внутри одной группы, но может быть использована и для определения отклонения данных между разными группами. Для этого используется несколько видов дисперсии.

Если в качестве выборки берется какая-либо группа, то дисперсия данной группы называется групповой дисперсией. Чтобы выразить численно различия между дисперсиями нескольких групп, существует понятие межгрупповой дисперсии. Межгрупповой дисперсией ?)межгр называется дисперсия групповых средних относительно общей средней:

где k — число групп в общей выборке; х — выборочная средняя для г-й группы; п: — объем выборки i-й группы; х — выборочная средняя для всех групп.

Рассмотрим пример. Средняя оценка за контрольную работу по математике в 10 «А» классе составила 3,64, а в 10 «Б» классе — 3,52. В 10 «А» учится 22 человека, а в 10 «Б» — 21. Найдем межгрупповую дисперсию.

В данной задаче выборка разбивается на две группы (два класса). Выборочная средняя для всех групп равна

В таком случае межтрупповая дисперсия равна

Поскольку межгрупповая дисперсия близка к нулю, то мы можем сделать вывод, что оценки одной группы (10 «А» класс) в малой степени отличаются от оценок второй группы (10 «Б» класс). Иными словами, с точки зрения межгрупповой дисперсии рассмотренные группы в незначительной степени отличаются по заданному признаку.

Если общая выборка (например, класс учеников) разбита на несколько групп, то помимо межгрупповой дисперсии можно рассчитать еще внутригрупповую дисперсию. Такая дисперсия является средней величиной для всех групповых дисперсий.

Внутригрупповая дисперсия (.DBnrp) рассчитывается по формуле

где k — количество групп в общей выборке; Д — дисперсия J-й группы объема пг

Существует взаимосвязь между общей (Д,), внутригрупповой (?>внгр) и межгрупповой (Д,ежгр) дисперсиями:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >