Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Статистика arrow МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ДЛЯ СОЦИОЛОГОВ
Посмотреть оригинал

Закон больших чисел

Под законом больших чисел так же, как это имело место для центральной предельной теоремы, не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел — это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным. Мы рассмотрим лишь две формулировки соответствующего плана.

Во-первых, приведем формулировку Я.Бернулли (1654—1705) — ученого, открывшего закон больших чисел. Теорема Бернулли утверждает, что в последовательности независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления некоторого события А имеет одно и то же значение р, 0<р< I, верно соотношение

при любом е > 0 и п -* оо. Здесь S — число появления события А в п испытаниях, S/n — частота появлений. Другими словами, при достаточно большом числе испытаний вероятность того, что частота появления события будет значимо отличаться от соответствующей вероятности, практически сводится к нулю.

Во-вторых, вспомним творчество П.Л. Чебышева.

Частный случай теоремы Чебышева (1867) - если Xr Xv ..., Хп выборочные значения случайной величины Ху имеющей математическое ожидание MX и дисперсию DXy то для любого как угодно малого е имеет место соотношение[1]:

Итак, при увеличении объема выборки вероятность того, что вычисленное для выборки среднее арифметическое значение рассматриваемой случайной величины с вероятностью, практически равной единице, будет совпадать с соответствующим математическим ожиданием. Другими словами, среднее арифметическое случайной величины обладает определенной устойчивостью.

Этот факт дает нам еще одно основание для использования среднего арифметического как выборочной оценки генерального параметра — математического ожидания.

Основное значение теоремы Чебышева именно в том и состоит, что она позволяет, используя среднее арифметическое, получить представление о величине математического ожидания[2].

Перейдем к более подробному рассмотрению того, каким образом генеральные параметры можно оценивать с помощью адекватным образом подобранных статистик.

Литература к теме 4

Основная

Бернулли Я. О законе больших чисел. М., 1986.

Пасхавер И.С. Закон больших чисел и статистические закономерности. М.: Статистика, 1974.

  • [1] Строго говоря, здесь следовало бы величины Xr Xv ..., Xa рассматривать какреализацию значений п независимых одинаково распределенных случайных величин.
  • [2] 17 В середине и второй половине XIX в. в тех исследованиях, которые мы сейчас причисляем к области эмпирической социологии (тогда они отождествлялисьс исследованиями в области политической арифметики, моральной статистики,а в России — сше и земской статистики), активно использовались идеи известногобельгийского ученого Л. А.Ж. Кетле (1796—1874), создателя так называемой теории«среднего человека». Однако подлинное теоретическое обоснование эта теория получила лишь в работах Чебышева.
 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы