Меню
Головна
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
Посмотреть оригинал

ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ

Внутренние и внешние силы

Самая простая составная механическая система представляет собой две материальные точки, движущиеся некоторым образом в пространстве. Описывать движение этих точек удобно посредством зависимостей их радиус-векторов от времени:

Эти зависимости можно найти из уравнений Ньютона, если известны силы, действующие на рассматриваемые частицы.

Система из двух частицы. Внутренние и внешние силы

Рис. 5.1. Система из двух частицы. Внутренние и внешние силы

В общем случае частицы взаимодействуют друг с другом. Пусть f2 есть сила, с которой на первую частица действует вторая, a f21 - сила, действующая на вторую частицу со стороны первой. Силы f2 и /2ь с которыми частицы действуют одна на другую, называют внутренними. Эти силы подчиняются третьему закону Ньютона

Все другие силы, действующие на частицы рассматриваемой системы, называют внешними. Пусть F есть сумма всех внешних сил, которые действуют на первую частицу, a F2 есть сумма всех внешних сил, которые действуют на вторую частицу (рис. 5.1). Теперь второй закон Ньютона приводит к следующим уравнениям:

где mi и m2 - массы частиц.

Рассмотрим еще один пример системы двух тел. Пусть два тела с массами mi и m2 движутся вдоль одной прямой. Направим ось х вдоль этой прямой (рис. 5.2).

Система двух взаимодействующих тел

Рис. 5.2. Система двух взаимодействующих тел

Пусть х и хг есть координаты тел. При этом движения тел удобно описывать посредством функций

Эти функции можно найти из второго закона Ньютона. На первое тело со стороны второго действует сила /12, а также на него могут действовать с некоторой силой F тела, не входящие в состав рассматриваемой системы. На второе тело действует внутренняя сила /21 и внешняя сила

F2. Если проекция на ось х внутренней силы /12 равна /, то проекция на ось х другой внутренней силы /21 будет равна -/. Теперь запишем для каждого тела второй закон Ньютона в проекциях на ось х:

где ai = х и аг = ?2 - ускорения тел, FXl и FX7 - проекции внешних сил F и Fi на ось х.

Дифференциальные уравнения (5.2) и (5.3) кажутся довольно простыми с виду. Однако их решения в общем случае встречают на своем пути непреодолимые математические трудности. Поэтому интересно рассмотреть случаи, когда можно найти решения этих уравнений, или случаи, когда можно хоть что-то узнать о движении тел.

Импульсом системы частиц или тел называют векторную сумму импульсов всех частиц, входящих в рассматриваемую систему. Например, импульс двух частиц равен

где

- импульсы отдельных частиц.

При помощи формул (5.5) уравнениям (5.2) можно придать вид

Эти уравнения представляют законы изменения импульсов р и р2 с течением времени.

Так как внутренние силы /п и /21 подчиняются третьему закону Ньютона (5.1), сложив уравнения (5.6), получим закон, по которому импульс системы изменяется с течением времени,

где

- сумма всех внешних сил, действующих на частицы системы.

Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю:

то из уравнения (5.7) следует, что импульс системы частиц со временем не изменяется, т.е. сохраняется:

С учетом определения (5.4) равенство (5.9) можно записать так:

Эти равенства выражают собой закон сохранения импульса системы частиц. Согласно равенству (5.10) сумма импульсов частиц рассматриваемой системы со временем не изменяется, если сумма внешних сил равна нулю. При этом импульсы отдельных частиц системы могут изменяться со временем.

Возможны случаи, когда векторная сумма внешних сил не равна нулю, но равна нулю сумма проекций этих сил на какое-то направление. В таком случае проекция импульса системы на это направление со временем изменяться не будет. Например, когда равна нулю сумма проекций внешних сил на ось х: Fx = 0, проекция на ось х импульса системы сохраняется:

где

Уравнение (5.7) можно преобразовать к виду

Согласно этому равенству приращение

импульса системы, которое он получает за время от момента t до момента t2} равно произведению суммы внешних сил на приращение времени dt = t2-ti.

Существуют такие кратковременные, но сильные взаимодействия тел и частиц, что за короткое время dt импульсы отдельных частиц системы могут существенно измениться. Примерами кратковременных взаимодействий тел, в результате которых происходит заметное изменение их импульсов, служат соударения тел, взрывы и выстрелы. Если приращение времени dt очень мало, а действующие в системе внутренние силы существенно превышают по величине внешние силы, то в уравнении (5.12) можно положить dt = 0. При этом приращение импульса системы также будет равно нулю: dp = 0, т.е. импульс p(t) системы в момент времени t равен импульсу p(t2) системы в момент времени t2:

Это равенство выражает собой закон сохранения импульса системы частиц при кратковременных взаимодействиях этих частиц друг с другом.

где pi и Р2 - импульсы частиц в момент времени t р[ и - импульсы частиц после их взаимодействия, т.е. в момент времени 12.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы