Верификация алгоритмов моделирования решений СДУ и пуассоновского ансамбля

Сравнительный анализ методов решения СДУ

Так как данное пособие является продолжением учебного пособия [31], то мы будем ссылаться на необходимые формулы из этого пособия. Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение

В [31] было предложено семейство численных методов решения СДУ (1.1) в смысле Стратоновича:

и его подсемейство:

Рассмотрим численные методы из этого семейства, построенные в

[31]:

и известные методы решения СДУ в смысле Ито: (8) метод Эйлера [200]:

метод, предложенный Милынтейном [110]:

где Cin - независимые нормальные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, т/*п независимые случайные величины с P(rjin = — 1) = P(rjin = —1) = 0.5;

  • (10) метод, предложенный Талэ (Talay) [205]:
  • (9)

где Cm Vn - векторы независимых в совокупности нормальных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, 8ijn - независимые между собой и с ?п, г)п случайные величины с Р(^ijn = 1) = Pb'ijn = -1) = P(Sijn = 1) = P(Sijn = -1) = 0.5 при i < j; jij = -iji, Sij = —Sji при i> j.

Все сравниваемые методы в случае произвольной матрицы <т имеют первый порядок сходимости в среднеквадратическом смысле. Методы Мильштейна и Талэ (Talay) слабо сходятся со 2-м порядком.

Сравнение построенных и известных методов проведем на системе двумерных тестов, приведенных в приложении.

Рассмотрим линейную систему СДУ с аддитивным шумом

когда все собственные значения матрицы А имеют отрицательные вещественные части. Стационарное решение этой системы имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и матрицей центральных вторых моментов (назовем ее для краткости дисперсией) D, удовлетворяющей уравнению Ляпунова

Рассмотрим каждый из методов на системе СДУ (1.2). Применительно к системе СДУ (1.2) методы (1) (2) принимают вид:

откуда получаем выражения для математического ожидания и дисперсии численного решения:

Из последнего уравнения непосредственно проверяется, что дисперсия стационарного численного решения удовлетворяет уравнению (1.3), т. е. методы (1)-(2) являются асимптотически несмещенными при любом размере шага интегрирования (в смысле определения из параграфа

1.2 пособия [31]).

Применяя с системе СДУ (1.3) методы из подсемейства, получаем

Учитывая конкретные значения параметров методов, имеем: для методов (3)-(4):

для методов (5) (6):

Из вида уравнений для матрицы D следует, что методы (3)-(7) не являются асимптотически несмещенными (в смысле определения из параграфа 1.2 учебного пособия [31]).

Применительно с системе СДУ (1.3) метод Эйлера принимает вид:

Из последнего уравнения, полагая Dyn+ = Dyn, получаем систему уравнений для дисперсии стационарного численного решения:

Таким образом, метод Эйлера не является устойчивым в смысле определения асимптотической несмещенности численного метода. Применяя метод Талэ (Talay) к системе СДУ (1.3), имеем:

где ?п, г]п - векторы независимых в совокупности нормальных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Из последнего уравнения получаем систему уравнений для дисперсии стационарного численного решения:

hA

где С = I + —. Таким образом, метод Талэ (Talay) не является устойчивым в смысле определения асимптотической несмещенности.

На системе уравнений (1.3) метод Милыптейна совпадает с методом (8), т. е. не является асимптотически несмещенным.

Расчеты проводились на ЭВМ PC АТ/386. При моделировании методами из предложенного семейства системы СДУ из тестов 3-5 приложения задавались в смысле Стратоповича (согласно формуле (1.4) учебного пособия [31]). Сравнение численных методов между собой проводилось по точности оценки элементов матрицы центральных вторых моментов D = Rst{0) (точность оценки математического ожидания решения задачи Коши всеми методами значительно выше, чем точность оценки матрицы D) и времени счета. Оценки

получены по одной траектории при моделировании решения задачи Коши с постоянным размером шага интегрирования h = 0.1 (здесь yjn означает j-ю компоненту численного решения). Максимальный объем выборки (равный числу шагов) равен N = 10.

Вычисление независимых нормальных случайных величии ? с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией осуществлялось но формуле

где ац, с*2 - равномерные случайные величины на интервачЛе [0, 1], моделируемые с помощью датчика псевдослучайных чисел RAND [91].

Метод

du

du

d2

d2

d'22

d>22

Время

Тест А.1

(1), (2)

1

0.983

0

2.4- 10-4

0.0625

0.0629

1.4

(3), (4)

0.977

1

О

*-н

oo

CN

0.0624

1.4

(5), (0)

0.971

3.3 • 10“4

0.0621

1.4

(7)

0.969

5.8-10-4

0.0621

1.03

(8)

6.148

-1.7 • 10“3

0.384

1

(9)

1.007

-2.5 ? 10“3

0.0619

1.5

(10)

1.016

2.4- 10-3

0.0652

1.7

Тест А.2

(1), (2)

1

0.986

0.5

0.4997

1

1.0016

1

(3), (4)

0.590

0.495

1.0006

1.05

(3), (6)

0.311

0.480

0.9992

1.05

Тест А.З

(1)

0.0833

0.0862

0

-2.2 • 10-3

0.0833

0.0864

1.4

(2)

0.075

-2.3 • 10“3

0.0758

1.4

(3)

0.093

-1.6 -10“3

0.0968

1.5

(4)

0.0797

-2.6 -10“3

0.0807

1.4

(5)

0.0795

-2.6-10-3

0.0805

1.5

(6)

0.083

-2.3- 10“3

0.0869

1.5

(7)

0.0785

-2.6 -10“3

0.0796

1.04

(8)

0.0881

-1.8-10-3

0.0899

1

(10)

0.0836

-3.3 -10“3

0.0850

1.7

Тест А.4

(2)

2

2.052

2

2.328

4

4.709

1.4

(3)

2.057

2.234

4.592

1.5

(4)

2.071

2.275

4.625

1.4

(5)

2.071

2.280

4.630

1.5

(6)

2.054

2.280

4.644

1.5

(7)

2.064

2.303

4.668

1.03

(8)

2.507

2.539

5.025

1

Метод

dn

dn

dn

dn

C?22

d22

Время

Тест А.

(1)

0.04

0.04427

-0.0266

-0.02813

0.04

0.04228

1.3

(2)

0.03948

-0.02583

0.03431

1.4

(3)

0.04381

-0.03070

0.04157

1.5

(4)

0.04110

-0.02666

0.03664

1.4

(5)

0.04091

-0.02651

0.03639

1.5

(6)

0.04167

-0.02829

0.03860

1.5

(7)

0.04062

-0.02625

0.03536

1.06

(8)

0.04304

-0.02699

0.04335

1

(10)

0.04012

-0.02708

0.04036

1.7

Таблица 1.3. Относительная погрешность

Метод

?i

?2

?cp

?max

Тест A.l

(1), (2)

i.6

0.024

0.64

0.755

i.6

(3), (4)

2.3

0.028

0.15

0.826

2.3

(5), (6)

2.9

0.033

0.64

1.19

2.9

(7)

3.1

0.058

0.64

1.27

3.1

(8)

515

0.168

515

343

515

(9)

0.67

0.251

0.96

0.627

0.96

(10)

1.6

0.241

4.32

2.06

4.32

Тест A.2

(1), (2)

1.4

0.006

0.16

0.52

1.4

(3), (4)

41

0.06

0.06

13.7

41

(5), (6)

68.9

0.04

0.08

23.13

68.9

метод

-1

?2

?ср

?тах

Тест А.З

(1)

3.44

0.22

3.77

2.48

3.77

(2)

9.96

0.23

9.00

6.4

9.96

(3)

11.64

0.16

16.21

9.34

16.21

(4)

4.32

0.26

3.12

2.57

4.32

(5)

4.56

0.26

3.36

2.73

4.56

(6)

0.36

0.23

4.32

1.64

4.32

(7)

5.76

0.026

4.47

3.41

5.76

(8)

5.76

0.18

7.92

4.62

7.92

(10)

0.36

0.33

2.04

0.91

2.04

Тест А.4

(2)

2.6

16.4

17.73

12.24

17.73

(3)

2.85

11.7

14.8

9.79

14.8

(4)

3.55

13.75

15.63

10.98

15.63

(5)

3.55

14

15.75

11.10

15.75

(6)

2.71

14

16.1

10.94

16.1

(7)

3.18

15.15

16.70

11.68

16.7

(8)

25.35

26.95

25.63

25.98

26.95

Тест А.5

(1)

10.68

5.75

5.7

7.38

10.68

(2)

1.3

2.89

14.23

6.14

14.23

(3)

9.53

15.41

3.93

9.6

15.41

(4)

2.75

0.0

8.4

3.71

8.4

(5)

2.28

0.38

9.03

3.9

9.03

(6)

4.18

6.35

3.5

4.68

6.35

(7)

1.55

1.32

11.6

4.82

11.6

(8)

7.6

1.47

8.38

5.82

8.38

(10)

0.3

1.58

0.9

0.93

1.58

В таблицах приводятся результаты численных расчетов. В табл. 1.1-

1.2 помещены точные значения du, d12, ^22 5 оценки du, d2, ^22 и относительное время моделирования одной траектории (относительно минимального). В табл. 1.3-1.4 приводятся относительные ошибки вычисления компонент dn, di2, ^22'

1. При решении теста А.1 все методы, кроме метода Эйлера, имеют приблизительно одинаковую точность оценки элементов матрицы D.

У метода Эйлера очень низкая точность оценки du = 6.14, с/22 = 0.385 вместо с/ц = 1, d'22 = 0.0625.

2. Тест А.2 характеризуется большим разбросом собственных значений матрицы А: ^ =50. Из-за наличия большого по модулю собствен-

*2

ного значения Ai этот тест с шагом h = 0.1 просчитали только методы (1)-(6). Устойчивые методы (1), (2) имеют высокую точность оценки элементов матрицы D. Методы (3)-(6), точно оценивая di2, d22, имеют низкую точность оценки величины du.

При счете также оценивалась корреляционная функция. В нуле оценки корреляционной функции, полученные методами (3)-(6), сильно отличаются от точной, однако в последующих точках имеет место хорошее приближение значений корреляционной функции. Для оценок значений корреляционной функции, полученных методами (1), (2), наоборот, имеет место точное приближение в нуле и низкая точность оценки в последующих точках.

3. При решении теста А.З методы из предложенного семейства, за исключением методов (2)-(3), имеют приблизительно одинаковую точность оценки элементов матрицы D. Метод Талэ (Talay) наиболее точен, однако долго считает. При выходе моделируемой траектории на границу области задания р(у) в выражениях вида

в методе Милыптейна происходит деление на нуль.

4. При решении теста А.4 все методы, за исключением метода Эйлера, имеют приблизительно одинаковую точность оценки величин d^ . Метод Эйлера дает наиболее завышенные оценки элементов матрицы D. При выходе моделируемой траектории на границу у = у2 области задания р(у) в выражении

в методах (1), Талэ (Talav), Милыптейна происходит деление на нуль.

5. При решении теста А.5 метод Талэ (Talay) наиболее точен, однако, долго считает по сравнению с другими методами. При выходе моделируемой траектории на границу области задания р(у) в методе Милыптейна в выражениях вида

происходят деления на нуль.

При численном решении тестов А.1-А.5 исследовалась зависимость относительной ошибки оценки элементов d от объема выборки. При моделировании решения с шагом интегрирования h = 0.1 точность оценки практически не улучшается при N > 4000. Исходя из этого, можно делать вывод о необходимом соотношении между размером шага интегрирования и объемом выборки.

Анализируя результаты расчетов, можно сделать вывод, что наиболее пригодными для решения рассматриваемых тестов оказались методы из предложенного семейства. Методы (1), (2) в силу своей устойчивости наиболее эффективны при решении систем СДУ с плохо обусловленной матрицей А. Все пять тестов просчитачли методы (2)-(6).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >