Верификация алгоритмов моделирования систем со случайной структурой

Численный анализ систем с распределенными независимыми переходами

В разделе 4.2 пособия [31] был построен статистический алгоритм моделирования систем с распределенными переходами. В данном параграфе проведем численные испытания построенного алгоритма на системах со случайной структурой с распределенными независимыми переходами.

Пример 1. Линейная система имеет две структуры, каждая из которых описывается уравнением первого порядка с различным коэффициентом усиления

Переход от первой структуры ко второй и обратно происходит путем переключения коэффициента усиления b в случайные моменты времени. Нормированные функции поглощения имеют вид

Требуется определить: вероятностные моменты координаты у; вероятности пребывания системы в первом и втором состояниях; функции плотности вероятности распределения времени перехода; числовые вероятностные характеристики времени перехода системы из первого состояния во второе и обратно.

Первые два момента и вероятности состояния удовлетворяют следующим ОДУ [92]:

При численном решении ОДУ обобщенным методом типа Розенбро- ка (2) из параграфа 1.1 по предложенному алгоритму задавались следующие значения параметров:

В этой задаче существует установившейся режим, для которого = 1/3, РМ = 2/3. Так как интенсивности перехода малы, для выхода в установившийся режим задачу приходится решать на длительном временном интервачче [0, 200|. Метод (2) из параграфа 1.1 является ассимп- тотически несмещенным, поэтому шаг вычислений можно было взять достаточно большим: h = 0.1. Для оценки функционалов от решения моделировалось N = 105 траекторий.

На рис. 2.1 приведены графики точных значений безусловных величин: математического ожидания (тонкая линия) и дисперсии (жирная линия). Полученные методом (2) оценки этих величин обозначены точками. На рис. 2.2 приведены графики точных значений вероятности нахождения системы в первом состоянии (тонкая линия) и вероятности нахождения системы во втором состоянии (жирная линия). Полученные методом (2) оценки этих величин обозначены точками. Вычисленные значения сильно совпадают с точными, поэтому графики практически сливаются.

На рис. 2.3 приведены плотность вероятности распределения времени перехода из первого состояния (жирная линия) и ее оценка - гистограмма, полученная методом (2) (тонкая линия). На рисунке видно их хорошее совпадение.

Безусловные моменты (пример 1)

Рис. 2.1. Безусловные моменты (пример 1)

Вероятности состояний (пример 1)

Рис. 2.2. Вероятности состояний (пример 1)

Плотность вероятности времени перехода из первого состояния

Рис. 2.3. Плотность вероятности времени перехода из первого состояния

Были получены следующие оценки математического ожидания времени перехода из первого состояния во второе и обратно: raj1 = 21.47, raj2^ = 21.47. Точные значения равны raj1^ = raj2^ = 22.2(2). Относительная ошибка равна 3 %.

Пример 2. Задача (2.1), (2.3) из примера 1, но с интенсивностями перехода, зависящими от времени:

Требуется определить вероятности пребывания системы в первом и втором состояниях и вероятностные моменты координаты Y.

Эта задача была просчитана предложенным алгоритмом, с использованием метода (2) из параграфа 1.1, с шагом /г = 0.1, моделировалось 105 траекторий. На рис. 2.4 приведены графики точного математического ожидания (тонкая линия) и точной дисперсии (жирная линия) для первой структуры. Полученные методом (2) оценки этих величин обозначены точками. На рис. 2.5 приведены графики точных значений

Моменты для первой структуры (пример 2)

Рис. 2.4. Моменты для первой структуры (пример 2)

вероятности нахождения системы в первом состоянии (тонкая линия) и вероятности нахождения системы во втором состоянии (жирная линия). Полученные методом (2) оценки этих величин обозначены точками.

Изменение интенсивностей перехода существенно повлияло на вероятности состояния и почти не изменило вероятностные моменты. Так

Вероятности состояний (пример 2)

Рис. 2.5. Вероятности состояний (пример 2)

же, как и в предыдущем примере, при вычислении вероятностных моментов максимальная относительная ошибка составила 2.5 %, а при вычислении вероятностей состояния - 1 %.

Проведенные тестовые расчеты показали, что данный алгоритм позволяет с высокой точностью вычислять вероятностью характеристики решения динамических систем со случайной структурой с распределенными независимыми переходами.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >