Распределение Вейбулла - Гнеденко

Распределение Вейбулла — Гнеденко названо в честь шведского исследователя В. Вейбулла (1887—1979), применявшего это распределение для описания времен отказов разного типа в теории

Выравнивание эмпирических частот по экспоненциальному закону

Рис. 9.14. Выравнивание эмпирических частот по экспоненциальному закону

надежности, и математика Б. В. Гнеденко (1912—1995), получившего такое распределение в качестве предельного при изучении максимального из результатов испытаний. В настоящее время эго распределение интенсивно используется не только в теории надежности, но и в страховании (при исследованиях, посвященных оценке страховых выплат или потерь из-за коммерческих рисков).

Плотность распределения Вейбулла — Гнеденко записывается в виде

где а — параметр масштаба; Ь — параметр формы.

Параметр Ъ определяют но специальным таблицам в зависимости от коэффициента вариации. При Ь = 1 распределение Вейбулла — Гнеденко близко к экспоненциальному закону распределения, при Ь = 2,5-ь 3,5 — к нормальному. Вследствие такого видоизменения распределение Вейбулла — Гнеденко считают очень гибким законом.

Иногда в функцию вводят параметр сдвига. В этом случае плотность распределения Вейбулла — Гнеденко имеет вид:

где а — параметр масштаба; Ь — параметр формы; с — параметр сдвига.

На рис. 9.15 графически представлены плотности распределения Вейбулла — Гнеденко при различных параметрах Ь.

Кривые распределения Вейбулла — Гнеденко

Рис. 9.15. Кривые распределения Вейбулла — Гнеденко

Теоретические частоты для распределения Вейбулла — Гнеденко определяют по формуле

где а — параметр распределения, а = х/Квв — коэффициент распределения Вейбулла — Гнеденко); /(х/а) — табулированная функция; N — объем совокупности; к — длина интервала.

В случае введения параметров сдвига теоретические частоты для распределения Вейбулла — Гнеденко определяют по формуле

где а — параметр распределения, а - х/Кв (Кв коэффициент распределения Вейбулла — Гнеденко); f(x/a) — табулированная функция; N — объем совокупности; hk длина интервала; с — параметр сдвига.

Так как для распределения Вейбулла — Гнеденко число обязательных связей принимают равным 3, то число наблюдений должно быть 30 и более, а число интервалов исследуемого статистического ряда больше или равно 4. Сделаем выравнивание эмпирических частот, приведенных в табл. 9.6, по закону Вейбулла — Гнеденко.

Имеем N = 140; hk = 2;

Таблица 9.6

Эмпирические частоты для выравнивания по закону Вейбулла — Гнеденко

Эмпирические данные, х

Эмпирическая частота,/

3

10

5

24

7

27

9

25

11

19

13

13

15

12

17

10

V = 43,0% (для расчета используется формула V = .ч/х).

При V = 0,43 по таблицам параметров и коэффициентов распределения Вейбулла — Гнеденко находим В = 2,5 и 7СВ = 0,89. Определим значение параметра распределения:

Расчет величин х/а, /(х/а) и теоретических частот произведен в табл. 9.7.

Таблица 9.7

Выравнивание эмпирических частот по закону Вейбулла — Гнеденко

Эмпирические данные, х

Эмпирическая частота, т

х/а

/(х/а)

Теоретические частоты

/'

3

10

0,29

0,0364

10,19

10

5

24

0,48

0,0697

19,52

20

7

27

0,68

0,0929

26,01

26

9

25

0,87

0,0971

27,19

27

Окончание табл. 9.7

Эмпирические данные, х

Эмпирическая частота, т

х/а

/(.х/а)

Теоретические частоты

/теор=^/Г?) а а)

/'

И

19

1,06

0,0824

23,07

23

13

13

1,25

0,0574

16,07

16

15

12

1,45

0,0330

9,24

9

17

10

1,64

0,0155

4,34

4

Всего

140

-

-

135,63

136

Эмпирические и теоретические частоты распределения Вей- булла — Гнеденко изобразим графически на рис. 9.16.

Выравнивание эмпирических частот по закону Вейбулла — Гнеденко

Рис. 9.16. Выравнивание эмпирических частот по закону Вейбулла — Гнеденко

Распределение Вейбулла — Гнеденко применяется также в случае построения вероятностных моделей ситуаций, поведение объекта в которых определяется «наиболее слабым звеном». Проводится аналогия с цепью, сохранность которой определяется тем ее звеном, которое имеет наименьшую прочность.

Пусть Хх, Х2у Хп — независимые одинаково распределенные случайные величины, а Х(1) = min (Xv Х2, Хп), Х(п) = тах и

Хъ

Величины Х() и Х(п) играют значительную роль в ряде прикладных статистических задач, в частности, при исследовании максимально возможных значений (пределов, рекордов) тех или иных значений, например страховых выплат или потерь из-за коммерческих рисков, ряда характеристик надежности и т.п. При больших п распределения Х(1) и Х(п), как правило, хорошо описываются распределениями Вейбулла — Гнеденко. Распределение Вейбулла в теории надежности является наиболее общим распределением времени безотказной работы элементов, времени работы до предельного состояния машин, для описания распределений сроков службы других различных устройств.

Использованию данного распределения в экономике, менеджменте, технике и других областях посвящены труды В. Вейбулла, Б. В. Гнеденко, Э. Гумбеля, В. Б. Невзорова, Э. М. Кудлаева и многих других специалистов.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >