Геометрическое распределение и его обобщения
Определение. Дискретная случайная величина X = т имеет геометрическое распределение с параметром р, если она принимает значения 1, 2, ...» т... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями
где
Ряд геометрического распределения случайной величины имеет вид
|
1 |
2 |
3 |
т |
|||
|
Р1 |
р |
ру |
РТ |
ру"‘ ?' |
Нетрудно видеть, что вероятности р, образуют геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем у (отсюда название «геометрическое распределение»).
Определение геометрического распределения корректно, так как сумма ряда
( гак как
есть сумма геометрического ряда
Случайная величина X - т, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число т испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью р наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.
Так, например, число вызовов радистом корреспондента до тех пор, пока вызов не будет принят, рассматриваемое в примере 3.19, б, есть случайная величина, имеющая геометрическое распределение с параметром р = 0,4.
Теорема. Математическое ожидание случайной величины X, имеющей геометрическое распределение с параметром р,
а ее дисперсия1
где у = 1 - р.
О Пример 4.4. Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения бракованной (без ограничения числа проверенных деталей). Составить закон распределения числа проверенных деталей. Найти его
* Доказательство теоремы, связанное с суммированием членов бесконечного ряда, здесь не приводим. Это доказательство аналогично приведенному для частного случая в решении примера 3.19, б.
математическое ожидание и дисперсию, если известно, что вероятность брака для каждой детали равна 0,1.
Решение. Случайная величина X — число проверенных деталей до обнаружения бракованной — имеет геометрическое распределение (4.11) с параметром р = 0,1. Поэтому ряд распределения имеет вид
По формулам (4.12) и (4.13)
?
Геометрическое распределение при к = 1 является частным случаем распределения Паскаля, для которого
и числовые характеристики
Геометрическое распределение характеризует число т испытаний (проведенных по схеме Бернулли с вероятностью р наступления события в каждом испытании) до первого положительного исхода; распределение Паскаля — до к-го положительного исхода.
В отличие от закона Паскаля отрицательное биномиальное распределение характеризует распределение числа т непоявлений события до к-го положительного исхода. Его функция вероятностей
и числовые характеристики
> Пример 4.4а. Решить задачу 4.4 при условии, что проверка партии проводится до обнаружения трех бракованных деталей.
Решение. Случайная величина X — число проверенных деталей до обнаружения ^ = 3 бракованных — имеет закон распределения Паскаля с параметром р = 0,1, т.е. Р(Х = т) = С2т_х ? 0,13 • 0,9'"“3, или
?
