ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Теория случайных процессов (случайных функций) — это раздел математической науки, изучающий закономерности случайных явлений в динамике их развития.

Определение случайного процесса и его характеристики

Понятие случайного процесса является обобщением понятия случайной величины, рассмотренной в гл. 3.

Определение. Случайным процессом Х{!) называется процесс, значение которого при любом значении аргумента Г является случайной величиной.

Другими словами, случайный процесс представляет собой функцию, которая в результате испытания может принять тот или иной конкретный вид, неизвестный заранее. При фиксированном I - ?0 Х(1ф) представляет собой обычную случайную величину, т.е. сечение случайного процесса в момент ?0

Примеры случайных процессов:

  • 1) численность населения региона с течением времени;
  • 2) число заявок, поступающих в ремонтную службу фирмы, с течением времени.

Аналогично тому, как в гл. 3 записана случайная величина в виде функции элементарного события со, появляющегося в результате испытания, случайный процесс можно записать в виде функции двух переменных Х(/:, со), где со е О, ? е Т, Х(/:, со) е Е и со — элементарное событие, П — пространство элементарных событий, Т — множество значений аргумента ?, Н — множество возможных значений случайного процесса Х(/;, со).

Реализацией случайного процесса Х(ф, со) называется неслучайная функция х(1), в которую превращается случайный процесс Х(1) в результате испытания (при фиксированном со), т.е. конкретный вид, принимаемый случайным процессом Х(1), его траектория.

Таким образом, случайный процесс Х(1, со) совмещает в себе черты случайной величины и функции. Если зафиксировать значение аргумента ?, случайный процесс превращается в обычную случайную величину, если зафиксировать со, то в результате каждого испытания он превращается в обычную неслучайную функцию. В дальнейшем изложении опустим аргумент со, но он будет подразумеваться по умолчанию.

Рис. 7.1

На рис. 7.1 изображено несколько реализаций некоторого случайного процесса. Пусть сечение этого процесса при данном ? является непрерывной случайной величиной. Тогда случайный процесс Х(?) при данном I определяется плотностью вероятности ср(х, ?)•

Очевидно, что плотность (р (х, ?) не является исчерпывающим описанием случайного процесса Х(?), ибо она не выражает зависимости между его сечениями в разные моменты времени.

Случайный процесс Х(1) представляет собой совокупность всех сечений при всевозможных значениях поэтому для его описания необходимо рассматривать многомерную случайную величину (Х^), Х(?2), Х(?„)), состоящую из всех сечений

этого процесса. В принципе таких сечений бесконечно много, но для описания случайного процесса удается часто обойтись относительно небольшим количеством сечений.

Говорят, что случайный процесс имеет порядок п, если он полностью определяется плотностью совместного распределения ср (х1? х2, хп; ?1? ?2, •••> О п произвольных сечений процесса, т.е. плотностью п-мерной случайной величины (Х^), Х(?2), Х(?я)), где Х(?,) — сечение случайного

процесса Х(?) в момент времени / = 1,2,..., п.

Как и случайная величина, случайный процесс может быть описан числовыми характеристиками. Если для случайной величины эти характеристики являются постоянными числами, то для случайного процесса - неслучайными функциями.

Математическим ожиданием случайного процесса Х(1) называется неслучайная функция ах(?), которая при любом значении переменной ? равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса Х(Ь), т.е. ах(р) = М[Х(0.

Дисперсией случайного процесса Х(?) называется неслучайная функция Ох(?), при любом значении переменной I равная дисперсии соответствующего сечения случайного процесса Х(?), т.е. ?)д.(?) = Г)[Х(?)].

Средним квадратическим отклонением ах(0 случайного процесса Х(?) называется арифметическое значение корня квадратного из его дисперсии,

т.е.

Математическое ожидание случайного процесса характеризует сред - н ю ю траекторию всех возможных его реализаций, а его дисперсия или среднее квадратическое отклонение — разброс реализаций относительно средней траектории.

Введенных выше характеристик случайного процесса оказывается недостаточно, так как они определяются только одномерным законом распределения. На рис. 7.2 и 7.3 изображены два случайных процесса Х((Г) и Х2(Г) с примерно одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями.

Рис. 7.2

Рис. 7.3

Если для случайного процесса Х)(Г) (см. рис. 7.2) характерно медленное изменение значений реализаций с изменением Г, то для случайного процесса Х2(Г) (см. рис. 7.3) это изменение происходит значительно быстрее. Другими словами, для случайного процесса ХДг) характерна тесная вероятностная зависимость между двумя его сечениями ХД^) и Х{^2), в то время как для случайного процесса Х2(Г) эта зависимость между сечениями Х2(ГД и Х22) практически отсутствует. Указанная зависимость между сечениями характеризуется корреляционной функцией.

Определение. Корреляционной функцией случайного процесса Х{1.) называется неслучайная функция

двух переменных Г( и Г2, которая при каждой паре переменных ^ и Г2 равна ковариации соответствующих сечений Х(! {) и Х((:2) случайного процесса.

Очевидно, для случайного процесса ХДГ) корреляционная функция К, (? ), ?2) убывает по мере увеличения разности Г2 - значительно медленнее, чем к , .(?1- Гг) Для случайного процесса Х2(Г).

Корреляционная функция КХ(Ь, Гг) характеризует не только степень тесноты линейной зависимости между двумя сечениями, но и разброс этих сечений относительно математического ожидания а,.(Г). Поэтому рассматривается также нормированная корреляционная функция случайного процесса.

Нормированной корреляционной функцией случайного процесса Х(Г) называется функция

О Пример 7.1. Случайный процесс определяется формулой X(t) = - X cos оit, где X — случайная величина. Найти основные характеристики этого процесса, если М(Х) = а, О(Х) = сг.

Решение. На основании свойств математического ожидания и дисперсии имеем:

Корреляционную функцию найдем по формуле (7.1):

Нормированную корреляционную функцию найдем по формуле (7.2):

?

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >