Потоки событий

Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов ЭВМ, поток покупателей и т.п.).

Поток характеризуется интенсивностью X — частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени. Например, поток изделий на конвейере сборочного цеха (с постоянной скоростью движения) является регулярным.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная: ^(7) = X. Например, поток автомобилей на городском проспекте не является стационарным в течение суток, но этот поток можно считать стационарным в определенное время суток, скажем, в часы пик. В этом случае фактическое число проходящих автомобилей в единицу времени (например, в каждую минуту) может заметно различаться, но среднее их число постоянно и не будет зависеть от времени.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени х_х и т₂ число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последействия. А, скажем, поток покупателей, отходящих с покупками от прилавка, уже имеет последействие (хотя бы потому, что интервал времени между отдельными покупателями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания каждого ив них).

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый (элементарный) участок времени Д7 двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. Другими словами, поток событий ординарен, если события появляются в нем поодиночке, а не группами. Например, поток поездов, подходящих к станции, ординарен, а поток вагонов не ординарен.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия. Название «простейший» объясняется тем, что СМО с простейшими потоками имеет наиболее простое математическое описание. Регулярный поток не является простейшим, так как обладает последействием: моменты появления событий в таком потоке жестко зафиксированы.

Простейший поток в качестве предельного возникает в теории случайных процессов столь же естественно, как в теории вероятностей нормальное распределение получается в качестве предельного для суммы случайных величин: при наложении (суперпозиции) достаточно большого числа п независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивностям Х₁ (г = 1, 2, ..., п)) получается поток, близкий к простейшему с интенсивностью Х_у равной сумме интенсивностей входящих потоков, т.е.

Рассмотрим на оси времени 01 (рис. 7.5) простейший поток событий как неограниченную последовательность случайных точек.

Рис. 7.5

Пусть случайная величина X выражает число событий (точек), попадающих на произвольный промежуток времени т. Покажем, что случайная величина X распределена по закону Пуассона.

? Разобьем мысленно временной промежуток т на п равных элементарных отрезков Дг = х/п. Математическое ожидание числа событий, попадающих на элементарный отрезок At_y очевидно, равно ЛД?, где X — интенсивность потока. Согласно свойству ординарности потока можно пренебречь вероятностью попадания на элементарный отрезок двух и более событий.

Будем считать элементарный отрезок Д7 «занятым», если в нем появилось событие потока, и «свободным», если не появилось. Вероятность того, что отрезок № = х/п окажется «занятым», равна ХМ-Хх)п вероятность того, что он окажется «пустым», равна(чем меньше Д?, тем точнее

равенства).

Число занятых элементарных отрезков, т.е. число X событий на всем временном промежутке т, можно рассматривать как случайную величину, имеющую биномиальный закон распределения, т.е.

с параметрами п и р = Хт/п.

(Необходимое для возникновения биномиального закона условие независимости испытаний, в данном случае — независимость п элементарных отрезков относительно события «отрезок занят», обеспечивается свойством отсутствия последействия потока.)

При неограниченном увеличении числа элементарных отрезков А7, т.е.

при и постоянном значении произведения

как отмечено в параграфе 4.2, биномиальное распределение стремится к распределению Пуассона с параметром Хт.

для которого математическое ожидание случайной величины равно ее дисперсии: а = ст² = Хт.

В частности, вероятность того, что за время т не произойдет ни одного события (т = 0), равна

[> Пример 7.3. На автоматическую телефонную станцию поступает простейший поток вызовов с интенсивностью X = 1,2 вызова в минуту. Найти вероятность того, что за две минуты: а) не придет ни одного вызова; б) придет ровно один вызов; в) придет хотя бы один вызов.

Решение, а) Случайная величина X — число вызовов за две минуты — распределена по закону Пуассона с параметром Хт = 1,2 • 2 = 2,4. Вероятность того, что вызовов не будет (т = 0), по формуле (7.5):

б) Вероятность одного вызова (т = 1):

• в) Вероятность хотя бы одного вызова:
  • ?

Найдем распределение интервала времени Т между двумя произвольными соседними событиями простейшего потока.

В соответствии с (7.6) вероятность того, что на участке времени длиной ? не появится ни одного из последующих событий, равна

а вероятность противоположного события, т.е. функция распределения случайной величины Т, есть

Рис. 7.6

Плотность вероятности случайной величины есть производная ее функции распределения (рис. 7.6), т.е.

Распределение, задаваемое плотностью вероятности (7.9) или функцией распределения (7.8), является показательным (экспоненциальным) (см. параграф 4.6). Таким образом, интервал времени между двумя соседними произвольными событиями простейшего потока имеет показательное распределение, для которого математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению случайной величины:

и обратно по величине интенсивности потока X.

Важнейшее свойство показательного распределения (присущее только показательному распределению^[1]) состоит в следующем: если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время т, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка (Т - т): он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка Г (см. гл. 4, пример 4.7).

Другими словами, для интервала времени Т между двумя последовательными соседними событиями потока, имеющего показательное распределение, любые сведения о том, сколько времени протекал этот интервал, не влияют на закон распределения оставшейся части. Это свойство показательного закона представляет собой, в сущности, другую формулировку для «отсутствия последействия» — основного свойства простейшего потока.

Для простейшего потока с интенсивностью X вероятность попадания на элементарный {малый) отрезок времени АС хотя бы одного события потока равна, согласно формуле (7.8),

(Эта приближенная формула, получаемая заменой функции е~^ лишь двумя первыми членами ее разложения в ряд по степеням АС, тем точнее, чем меньше АС.)

• [1] В классе непрерывных случайных величин.