Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Посмотреть оригинал

Формула для вычисления дисперсии

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания:

Доказательство. Математическое ожидание М(Х) есть постоянная величина, следовательно, 2М(Х) и М2(Х) есть также постоянные величины. Приняв это во внимание и пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), упростим формулу, выражающую определение дисперсии:

Итак,

Квадратная скобка введена в запись формулы для удобства ее запоминания.

Пример 1. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:

Решение. Найдем математическое ожидание М(Х):

Напишем закон распределения случайной величины X1:

Найдем математические ожидания М(Х2):

Искомая дисперсия

Замечание. Казалось бы, если X и Y имеют одинаковые возможные значения и одно и то же математическое ожидание, то и дисперсии этих величин равны (ведь возможные значения обеих величин одинаково рассеяны вокруг своих математических ожиданий!). Однако в общем случае это не так. Дело в том, что одинаковые возможные значения рассматриваемых величин имеют, вообще говоря, различные вероятности, а величина дисперсии определяется не только самими возможными значениями:, но и их вероятностями. Например, если вероятности «далеких» от математического ожидания возможных значений X больше, чем вероятности этих же значений У, и вероятности «близких» значений X меньше, чем вероятности тех же значений У, то, очевидно, дисперсия X больше дисперсии У.

Приведем иллюстрирующий пример.

Пример 2. Сравнить дисперсии случайных величин, заданных законами распределения:

Решение. Легко убедиться, что

Таким образом, возможные значения и математические ожидания Xи У одинаковы, а дисперсии различны, причем D(X) > D(Y). Этот результат можно было предвидеть без вычислений, глядя лишь на законы распределений.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы