Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной

Пусть из генеральной совокупности в результате п независимых наблюдений над количественным признаком X извлечена повторная выборка объема п:

значения признака хх х2... хк

частоты........................... я, п2...пк

При этом пх + п2 +... + пк - п.

Требуется по данным выборки оценить (приближенно найти) неизвестную генеральную дисперсию Dy. Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что, как можно доказать, выборочная дисперсия является смещенной оценкой Dy,

другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно

Легко «исправить» выборочную дисперсию гак, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить Dh на дробь п/(п - 1). Сделав это, получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают через .v2:

Исправленная дисперсия является, конечно, несмещенной оценкой генеральной дисперсии. Действительно,

Итак, в качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию

Для оценки же среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии:

Подчеркнем, что5 не является несмещенной оценкой; чтобы отразить этот факт, мы написали и будем писать далее так: «исправленное» среднее квадратическое отклонение.

Замечание. Сравнивая формулы

видим, что они отличаются лишь знаменателями. Очевидно, при достаточно больших значениях п объема выборки выборочная и исправленная дисперсии различаются мало. На практике пользуются исправленной дисперсией, если примерно п < 30.

§14. Точность оценки, доверительная вероятность...

213

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >