Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции

Пусть требуется по данным корреляционной таблицы вычислить выборочный коэффициент корреляции. Можно значительно упростить расчет, если перейти к условным вариантам (при этом величина ги не изменится)

В этом случае выборочный коэффициент корреляции вычисляют по формуле

Величины й, v, а и и дг, можно найти методом произведений (см. гл. 17, § 4), а при малом числе данных — непосредственно исходя из определений этих величин. Остается указать способ вычисления • nlwuv, где пш — частота пары условных вариант (и, v).

Можно доказать, что справедливы формулы (см. пояснение в конце параграфа):

Для контроля целесообразно выполнить расчеты по обеим формулам и сравнить результаты; их совпадение свидетельствует о правильности вычислений.

Покажем на примере, как пользоваться приведенными формулами.

Пример 1. Вычислить • ntwuv по данным корреляционной табл. 14.

Таблица 14

Y

X

п

у

10

20

30

40

50

60

15

5

7

-

-

-

-

12

25

-

20

23

-

-

-

43

35

-

-

30

47

2

-

79

45

-

-

10

11

20

6

47

55

-

-

-

9

7

3

19

п

X

5

27

63

67

29

9

« = 200

Решение. Перейдем к условным вариантам: и. = (xj - C^)/hx = = (х - 40)/10 (в качестве ложного нуля С, взята варианта х = 40, расположенная примерно в середине вариационного ряда; шаг /г, равен разности между двумя соседними вариантами: 20 — 10 = 10) и vj = = (у. - C2)/h2 = (у. - 35)/10 (в качестве ложного нуля С2 взята варианта у = 35, расположенная в середине вариационного ряда; шаг h2 равен разности между двумя соседними вариантами: 25 - 15 = 10).

Составим корреляционную таблицу в условных вариантах. Практически это делают так: в первом столбце вместо ложного нуля С., (варианты 35) пишут 0; над нулем последовательно записывают -1, -2; под нулем пишут 1, 2. В первой строке вместо ложного нуля С, (варианты 40) пишут 0; слева от нуля последовательно записывают -1, -2, -3; справа от нуля пишут 1,2. Все остальные данные переписывают из первоначальной корреляционной таблицы. В итоге получим корреляционную табл. 15 в условных вариантах.

Таблица 15

V

и

П1

-3

-2

-1

0

1

2

-2

5

7

12

-1

20

23

43

0

30

47

2

79

1

10

11

20

6

47

2

9

7

3

19

п

и

5

27

63

67

29

9

« = 200

Теперь для вычисления искомой суммы • nuruv составим расчетную табл. 16. Пояснения к составлению табл. 16:

  • 1. В каждой клетке, в которой частота пш, ф 0, записывают в правом верхнем углу произведение частоты пт на варианту и. Например, в правых верхних углах клеток первой строки записаны произведения: 5 • (-3) = -15; 7 (-2) = -14.
  • 2. Складывают все числа, помещенные в правых верхних углах клеток одной строки, и их сумму записывают в клетку этой же строки столбца U. Например, для первой строки U=-15 + (-14) = -29.
  • 3. Умножают варианту v на U и полученное произведение записывают в последнюю клетку гой же строки, т.е. в клетку столбца vU. Например, в первой строке таблицы v = -2, U = -29; следовательно, vU= (-2) ? (-29) = = 58.
  • 4. Наконец, сложив все числа столбца vU, получают сумму • vU,

V

которая равна искомой сумме • nm,uv. Например, для табл. 16 имеем Y,vU = 169; следовательно, искомая сумма ^/цг,мп = 169.

Для контроля аналогичные вычисления производят по столбцам: произведения «^записывают в левый нижний угол клетки, содержащей частоту nuv Ф 0; все числа, помещенные в левых нижних углах клеток одного столбца, складывают и их сумму записывают в строку V; далее умножают каждую варианту и на V и результат записывают в клетках последней строки.

Наконец, сложив все числа последней строки, получают сумму • uV,

и

которая также равна искомой сумме • nuvuv. Например, для табл. 16 имеем YjuV = 169; следовательно, ?«мг«г; = 169.

и

Теперь, когда мы научились вычислять • nuviiv, приведем пример на отыскание выборочного коэффициента корреляции.

Пример 2. Вычислить выборочный коэффициент корреляции г = = (^ujjUV- nUv)/(n&u6v) поданным корреляционной табл. 14.

Решение. Перейдя к условным вариантам, получим корреляционную табл. 15. Величины м, v, 6и, и дг можно вычислить методом произведений; однако, поскольку числа u.t vi малы, вычислим й и v , исходя из определения средней, а ди и dv используя формулы (см. гл. 16, § 10)

Найдем и и v:

О ~

Вычислим вспомогательную величину и , а затем ди:

Аналогично получим ав = 1,209.

Найдем искомый выборочный коэффициент корреляции, учитывая, что ранее уже вычислена сумма ^jilwuv = 169:

Итак, гв = 0,603.

Пояснен и е. Покажем,что ?«мг,гя; ~ Хг'^’ где ^ = Yjnuvu-

V и

Рассмотрим корреляционную таблицу в условных вариантах (для простоты таблица содержит мало данных):

V

и

м,

и2

из

v

V,

V,

Я«Л

V2

п,,л

V,

П

Найдем • nuvuv двумя способами: суммируя произведения частот п,„ на произведения соответствующих условных вариант uv по строкам и по столбцам. Для первой строки таблицы

Для второй строки таблицы

Сложим (*) и (**):

Итак,

где U = X пиги-

U

Аналогично, суммируя произведения частот пш, на произведения соответствующих условных вариант uv по столбцам, получим

где V =

V

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >