Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности

Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная дисперсия хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемо-

о о

му) значению а0. На практике а0 устанавливается на основании предшествующего опыта или теоретически.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема п и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия S2 с k = = п- 1 степенями свободы. Требуется по исправленной дисперсии при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная дисперсия рассматриваемой совокупности равна гипотетическому значению ajj.

Учитывая, что S2 является несмещенной оценкой генеральной дисперсии, нулевую гипотезу можно записать так:

Итак, требуется проверить, что математическое ожидание исправленной дисперсии равно гипотетическому значению генеральной дисперсии. Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются исправленная выборочная и гипотети ческая генеральная дисперсии.

На практике рассматриваемая гипотеза проверяется, если нужно проверить точность приборов, инструментов, станков, методов исследования и устойчивость технологических процессов. Например, если известна допустимая характеристика рассеяния контролируемого размера деталей, изготавливаемых станком-автоматом, равная Gq, а найденная но выборке окажется значимо больше ojj, то станок требует подналадки.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случай- ную величину (n-Y)S /05. Эта величина случайная, потому что в разных опытах S2 принимает различные, наперед неизвестные значения. Поскольку можно доказать, что она имеет распределение х2 с k - п -1 степенями свободы (см. гл. 12, § 13), обозначим ее через %2-

Итак, критерий проверки нулевой гипотезы

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

9 9

Первый случай. Нулевая гипотеза Я0: G“ = Gq. Конкурирующая гипотеза Нх: о2 > ojj.

В этом случае строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости:

Критическую точку ХкР(а> находят по таблице критических

точек распределения %2 (см. приложение 5), и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством х2 > Хкр>а°б-

о 2 2

ласть принятия нулевой гипотезы — неравенством х“ < Хкр?

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблю-

о

дений, через Х„абт и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Я0: о = о0 о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе #t: о2 > Ор, надо вычислить наблюдаемое значение критерия х2абл = (п~ 1)-S2/Oq и 110 таблице критических точек распределения х2, по заданному уровню значимости а и числу степеней свободы к = п -1 найти критическую точку ХкР(а; к).

Если Хнабл < xL — нет основаиий отвергнуть нулевую сипоте- 2 ' оР

зу. Если х„абл > Хкр нулевую гипотезу отвергают.

Пример 1. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема п = 13 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s2 = 14,6. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н0: а2 =о2 = 12, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н- о2 >12.

Реше и и е. Найдем наблюденное значение критерия:

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид а2 > 12, поэтому критическая область правосторонняя.

По таблице приложишя 5 по уров!но значимости 0,01 и числу creneiгей сво- боды к = п — 1 = 13-1 = 12 находим критическую точку х2р(0,01; 12) = 26,2.

Так как Хнабч < Х2р — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, различие между исправленной дисперсией (14,6) и гипотетической генеральной дисперсией (12) — незначимое.

Второй случай. Нулевая гипотеза Я0: а2 = Оц. Конкури-

2 2

рующая гипотеза Н{: а Ф а0.

В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости а.

Критические точки — левую и правую границы критической области — находят, требуя, чтобы вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области была равна а/2:

В таблице критических точек распределения х2 указаны лишь «правые» критические точки, поэтому возникает кажущееся затруднение в отыскании «левой» критической точки. Это затруднение легко преодолеть, если принять во внимание, что события

х2 < Хлев.кр и X2 > Хлсв.кр противоположны и, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

Отсюда

Мы видим, что левую критическую точку можно искать как правую (и значит, ее можно найти по таблице), исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в интервал, расположенный правее этой точки, была равна 1 - (а/2).

Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии а2 нормальной совокупности гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе Н{2 Ф ajj, надо вычислить наблюдаемое значение критерия %2абл = (п- 1)s2/(Jq и по таблице найти левую критическую точку %2р(1-а/2; к) и правую критическую точку Хкр(сс/2; к).

Если Хлев.кр < Хнабл < Х?1рав.Кр “ пет оснований отвергнуть ну- левую гипотезу.

ЕсЛИ Хнабл < Хлев.кр ИЛИ xLh > Х?,рав.кр “ Нулевую ГИПОТезу ОТ-

вергают.

Пример 2. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема п =13 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s2 = 10,3. Требуется при уровне значимости 0,02 проверить нулевую гипотезу #0: а~ = Gq = 12, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Я,: а2Ф 12.

Решение. Найдем наблюдавшееся значение критерия:

Так как конкурирующая гипотеза имеет вид а2 Ф 12, то критическая область — двусторонняя.

По таблице приложения 5 находим критические точки: левую —

ХкР(1 - «А к) = ХкР( 1 - 0,02/2; 12) = х2кр(0,99; 12) = 3,57 и правую -

ХкР(а/2; k) = % (0,01; 12) = 26,2. Так как наблюдавшееся значение критерия принадлежит области принятия гипотезы (3,57 < 10,3 < < 26,2) — нет оснований ее отвергнуть. Другими словами, исправленная выборочная дисперсия (10,3) незначимо отличается от гипотетической генеральной дисперсии (12).

Третий случай. Конкурирующая гипотеза II х: а < .

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н{2 < aj; находят критическую точку %2р(1-а; к).

Если %2а6л >ХкР0-ос’ ?) нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если х1авл <Хкр(1-а; к) — нулевую гипотезу отвергают.

Замечание 1. В случае, если найдена выборочная дисперсия ?>в, в качестве критерия принимают случайную величину у2 = nDK /Oq, которая имеет распределение х2 с к = п -1 степенями свободы, либо переходят кл-2 = [и/(и- l)|Dit.

Замечание 2. Если число степеней свободы к > 30, то критическую точку можно найти приближенно по равенству Уилсона — Гилферти

где za определяют, используя функцию Лапласа (см. приложение 2), по равенству Ф(2и) = (1 - 2а)/2.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >