Сравнение двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей (большие независимые выборки)

В предыдущем параграфе предполагалось, что генеральные совокупности X и Yраспределены нормально, а их дисперсии известны. При этих предположениях в случае справедливости пулевой гипотезы о равенстве средних при независимых выборках критерий Zраспределен точно нормально с параметрами 0 и 1.

Если хотя бы одно из приведенных требований не выполняется, метод сравнения средних, описанный в § 10, неприменим.

Однако если независимые выборки имеют большой объем (не менее 30 каждая), то выборочные средние распределены приближенно нормально, а выборочные дисперсии являются достаточно хорошими оценками генеральных дисперсий и в этом смысле их можно считать известными приближенно. В итоге критерий

распределен приближенно нормально с параметрами M(Z') = О (при условии справедливости нулевой гипотезы) и g(Z') = 1 (если выборки независимы).

Итак, если: 1) генеральные совокупности распределены нормально, а дисперсии их неизвестны; 2) генеральные совокупности не распределены нормально и дисперсии их неизвестны, причем выборки имеют большой объем и независимы, — можно сравнивать средние так, как описано в § 10, заменив точный критерий Z приближенным критерием Z'. В этом случае наблюдаемое значение приближенного критерия таково:

Замечание. Поскольку рассматриваемый критерий — приближенный, к выводам, полученным по этому критерию, следует относиться осторожно.

Пример. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны п =100 и т =120, найдены выборочные средние х = 32,4, у = 30,1 и выборочные дисперсии Dn(X) = 15,0, Яи(У) = 25,2. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу #0: М(Х) = М( У) при конкурирующей гипотезе Я,: М(Х) ф М( У).

Решение. Подставив данные задачи в формулу для вычисления наблюдаемого значения приближенного критерия, получим Z' с = 3,83.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М(Х) > м( У), поэтому критическая область — правосторонняя.

Найдем критическую точку по равенству

По таблице функции Лапласа находим z = 1,64.

Так как Zna6ji> zk — нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочные средние различаются значимо.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >