Пример на отыскание мощности критерия

Приведем решение примера на нахождение мощности критерия.

Пример. По выборке объема п = 25, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением а = 10, найдена выборочная средняя х = 18. При уровне значимости 0,05 требуется:

  • а) найти критическую область, если проверяется нулевая гипотеза Н0: а = а0 = 20 о равенстве генеральной средней гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе Н^.ак 20;
  • б) найти мощность критерия проверки при а0 = 16.

Решение, а) Так как конкурирующая гипотеза имеет вид а < а0, критическая область — левосторонняя.

Пользуясь правилом 3 (см. § 13, п. А), найдем критическую точку и' = -1,65. Следовательно, левосторонняя критическая область определяется неравенством U < -1,65, или подробнее

Отсюда х < 16,7.

При этих значениях выборочной средней нулевая гипотеза отвергается; в этом смысле х = 16,7 можно рассматривать как критическое значение выборочной средней.

б) Для того чтобы вычислить мощность рассматриваемого критерия, предварительно найдем его значение при условии справедливости конкурирующей гипотезы (т.е. при а0 = 16), положив х = 16,7:

Отсюда видно, что если х < 16,7, то U< 0,35. Поскольку при х < 16,7 нулевая гипотеза отвергается, то и при U< 0,35 она также отвергается (при этом конкурирующая гипотеза справедлива, так как мы положили а0 = 16).

Найдем теперь, пользуясь функцией Лапласа, мощность критерия, т.е. вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если справедлива конкурирующая гипотеза (см. § 7):

Итак, искомая мощность рассматриваемого критерия приближенно равна 0,64. Если увеличить объем выборки, то мощность увеличится.

Например, при п = 64 мощность равна 0,71. Если увеличить а, то мощность также увеличится. Например, при а = 0,1 мощность равна 0,7642.

Замечай и е. Зная мощность, легко найти вероятность ошибки второго рода: (3=1- 0,64. (Разумеется, при решении примера можно было сначала найти (3, а затем мощность, равную 1 - р.)

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >