Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам различного объема. Критерий Бартлетта

Пусть генеральные совокупности XvXy..., Xt распределены нормально. Из этих совокупностей извлечены независимые выборки, вообще говоря, различных объемов nv п2,..., п, (некоторые объемы могут быть одинаковыми; если все выборки имеют одинаковый объем, то предпочтительнее пользоваться критерием Кочрена, который описан в следующем параграфе). По выборкам найдены исправленные выборочные дисперсии Sp s2, ..., sf.

Требуется по исправленным выборочным дисперсиям при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой:

Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются исправленные выборочные дисперсии.

Рассматриваемую здесь гипотезу о равенстве нескольких дисперсий называют гипотезой об однородности дисперсий.

Заметим, что числом степеней свободы дисперсии sf называют число kt. = п{ - 1, т.е. число, на единицу меньшее объема выборки, по которой вычислена дисперсия.

Обозначим через s2 среднюю арифметическую исправленных дисперсий, взвешенную по числам степеней свободы:

/

где k = Yjk,.

i=l

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы об однородности дисперсий примем критерий Бартлетта — случайную величину

где

Бартлетт установил, что случайная величина В при условии справедливости нулевой гипотезы распределена приближенно как Х2с I- 1 степенями свободы, если все/с> 2. Учитывая, что /с -п- 1, заключаем, что и. - 1 > 2, или ni > 3, т.е. объем каждой из выборок должен быть не меньше 4.

Критическую область строят правостороннюю, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости:

Критическую точку ХкР (ос; / -1) находят по таблице приложения 5, по уровню значимости а и числу степеней свободы k = /- 1, и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством В > %кр, а область принятия гипотезы — неравенством В < %кр.

Обозначим значение критерия Бартлетта, вычисленное по данным наблюдений, через В 1абл и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий нормальных совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия Бартлетта В = V/С и по таблице критических точек рас-

А

пределения х2 найти критическую точку Х“р(ос; / -1).

Если Виабл < — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если Blia6ll > Хкр — нулевую гипотезу отвергают.

Замечание 1. Не следует торопиться вычислять постоянную С. Сна- чала надо найти Vи сравнить с хкр; если окажется, что V < хкр> то подавно (так как С> 1) В = (V/С) < ХкР и, следовательно, С вычислять не нужно.

Если же V > хкр, то надо вычислить С и затем сравнить В с хкр-

Замечание 2. Критерий Бартлетта весьма чувствителен к отклонениям распределений от нормального, поэтому к выводам, полученным но этому критерию, надо относиться с осторожностью.

Пример. По четырем независимым выборкам, объемы которых соответственно равны пх = 10, п2 = 12, п3 = 15, пл = 16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии, соответственно равные 0,25; 0,40; 0,36; 0,46. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу об однородности дисперсий (критическая область — правосторонняя).

Решение. Составим расчетную табл. 25 (столбец 8 пока заполнять не будем, поскольку еще неизвестно, понадобится ли вычислять С).

Пользуясь расчетной таблицей, найдем:

По таблице приложения 5, по уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы /—1=4—1=3 находим критическую точку %^.р(0,05; 3) = 7,8.

Так как V < %^р, то подавно (поскольку С> 1) #иа6л = (V/C) < ХкР и> следовательно, отвергнуть нулевую гипотезу об однородности дисперсий нет оснований. Другими словами, исправленные выборочные дисперсии различаются незначимо.

Таблица 25

1

2

3

4

5

6

7

8

Номер

выборки

I

Объем

выборки

п.

Число

степеней

свободы

k

Дисперсии

*2

lg sf

ksf

Щ

1

10

9

0,25

2,25

Т,3979

6,5811

2

13

12

0,40

4,80

1,6021

5,2252

3

15

14

0,36

5,04

1,5563

7,7822

4

16

15

0,46

6,90

1,6628

6,9420

I

6 = 50

18,99

22,5305

Замечание 3. Если требуется оценить генеральную дисперсию, то при условии однородности дисперсий целесообразно принять в качестве ее оценки среднюю арифметическую исправленных дисперсий, взвешенную по числам степеней свободы, т.е.

Например, в рассмотренной задаче в качестве оценки генеральной дисперсии целесообразно принять 0,3798.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >