Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема. Критерий Кочрена

Пусть генеральные совокупности Хх2.....^распределены нормально. Из этих совокупностей извлечено / независимых выборок одинакового объема иипо ним найдены исправленные выборочные дисперсии .v,2, s^, ..., sf, все с одинаковым числом степеней свободы k = п - 1.

Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой:

Другими словами, требуется проверить, значимо или незначимо различаются исправленные выборочные дисперсии.

В рассматриваемом случае выборок одинакового объема можно по критерию Фишера — Снедекора (см. § 8) сравнить наибольшую и наименьшую дисперсии; если окажется, что различие между ними незначимо, то подавно незначимо и различие между остальными дисперсиями. Недостаток этого метода состоит в том, что информация, которую содержат остальные дисперсии, кроме наименьшей и наибольшей, не учитывается.

Можно также применить критерий Бартлетта. Однако, как указано в § 20, известно лишь приближенное распределение этого критерия, поэтому предпочтительнее использовать критерий Кочрена, распределение которого найдено точно.

Итак, в качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем критерий Кочрена — отношение максимальной исправленной дисперсии к сумме всех исправленных дисперсий:

Распределение этой случайной величины зависит только от числа степеней свободы k - п -1 и количества выборок /.

Критическую область строят правостороннюю, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости:

Критическую точку Ск|)(а; к, /) находят по таблице приложения 8, и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством G > Gk , а область принятия нулевой гипотезы — неравенством G < Скр.

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через Gm6ji и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить гипотезу об однородности дисперсий нормально распределенных совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия и но таблице найти критическую точку.

Если Gmfn < Скр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если Gm(yi > Gk)i — нулевую гипотезу отвергают.

§ 22. ...о значимости выборочного коэффициента корреляции 327

Замечание. Если требуется оценить генеральную дисперсию, то при условии однородности дисперсий целесообразно принять в качестве ее оценки среднюю арифметическую исправленных выборочных дисперсий.

Пример. По четырем независимым выборкам одинакового объема п = 17, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные дисперсии: 0,26; 0,36; 0,40; 0,42. Требуется: а) при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности генеральных дисперсий (критическая область — правосторонняя); б) оценить генеральную дисперсию.

Р е ш е н и е. а) Найдем наблюдаемое значение критерия Кочрена — отношение максимальной исправленной дисперсии к сумме всех дисперсий:

Найдем но таблице приложения 8, по уровню значимости 0,05, числу степеней свободы k = 17 - 1= 16 и числу выборок /= 4 критическую точку GKp(0,05; 16; 4) = 0,4366.

Так как G[ia&i < G — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу об однородности дисперсий. Другими словами, исправленные выборочные дисперсии различаются незначимо.

б) Поскольку нулевая гипотеза справедлива, в качестве оценки генеральной дисперсии примем среднюю арифметическую исправленных дисперсий:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >