Общая факторная и остаточная суммы квадратов отклонений

Пусть на количественный нормально распределенный признак Xвоздействует фактор F, который имеетр постоянных уровней. Будем предполагать, что число наблюдений (испытаний) на каждом уровне одинаковой равно q.

Пусть наблюдалось n=pq значений х признака X, где i — номер испытания (i= 1, 2,..., q),j — номер уровня фактора (j = 1, 2,...,/?). Результаты наблюдений приведены в табл. 30.

Введем, по определению,

(общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей средней х),

Таблица 30

Номер

испытания

Уровни фактора F

F

Р

1

*12

*.,

2

*21

*22

*2,

У

*?>

Х*

X

ЯР

Групповая

средняя

*ф2

X

1|) р

(факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, которая характеризует «рассеяние между группами»),

(остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений группы от своей групповой средней, которая характеризует рассеяние «внутри групп»).

Практически остаточную сумму находят по равенству (см. § 3, следствие)

Элементарными преобразованиями можно получить формулы, более удобные для расчетов:

ч

где Pj = ^jc~j — сумма квадратов значений признака на уровне F.; 1=1

п

Rj = $>.. — сумма значений признака на уровне F..

/=1 1

Замена н и е. Для упрощения вычислений вычитают из каждого наблюдаемого значения одно и то же число С, примерно равное общей средней. Если уменьшенные значения у..=х.. - С, то

я

где Qj = 2lyfj — сумма квадратов уменьшенных значений признака на уров- i=i я

HeF; Tj = ^Уу — сумма уменьшенных значений признака на уровней.

Для вывода формул (***) и (****) достаточно подставить х = у.. + С я я я

в соотношение (*) и R ? = Yjxij = + О = 2^Уу + qC = Tj +qC в соот-

1=1 i=l /=1

ношение (**).

Пояснения. 1. Убедимся, что S^akj характеризует воздействие фактора F. Допустим, что фактор оказывает существенное влияние наХ Тогда группа наблюдаемых значений признака на одном определенном уровне, вообще говоря, отличается от групп наблюдений на других уровнях. Следовательно, различаются и групповые средние, причем они тем больше рассеяны вокруг общей средней, чем большим окажется воздействие фактора. Отсюда следует, что для оценки воздействия фактора целесообразно составить сумму квадратов отклонений групповых средних от общей средней (отклонение возводят в квадрат, чтобы исключить погашение положительных и отрицательных отклонений). Умножив эту сумму на q, получим 5факт. Итак, 5факт характеризует воздействие фактора.

  • 2. Убедимся, что 5(МТ отражает влияние случайных причин. Казалось бы, наблюдения одной группы не должны различаться. Однако, поскольку наХ, кроме фактора F, воздействуют и случайные причины, наблюдения одной и той же группы, вообще говоря, различны и, значит, рассеяны вокруг своей групповой средней. Отсюда следует, что для оценки влияния случайных причин целесообразно составить сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений каждой группы от своей групповой средней, т.е. 5кт. Итак, SOCT характеризует воздействие случайных причин.
  • 3. Убедимся, что 5общ отражает влияние и фактора, и случайных причин. Будем рассматривать все наблюдения как единую совокупность. Наблюдаемые значения признака различны вследствие воздействия фактора и случайных причин. Для оценки этого воздействия целесообразно составить сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей средней, т.е. 51)бщ.

Итак, 5-Ш1 характеризует влияние фактора и случайных причин.

Приведем пример, который наглядно показывает, что факторная сумма отражает влияние фактора, а остаточная — влияние случайных причин.

Пример. Двумя приборами произведены по два измерения физической величины, истинный размер которой равен х. Рассматривая в качестве фактора систематическую ошибку С, а в качестве его уровней — систематические ошибки СI и С2 соответственно первого и второго прибора, показать, что 5факг определяется систематическими, a S,KT — случайными ошибками измерений.

Решение. Введем обозначения: а,, а2 — случайные ошибки первого и второго измерений первым прибором; р,, (3, — случайные ошибки первого и второго измерений вторым прибором.

Тогда наблюдаемые значения результатов измерений соответственно равны (первый индекс при х указывает номер измерения, а второй — номер прибора):

Средние значения измерений первым и вторым приборами соответственно равны:

Общая средняя факторная сумма

Подставив величины, заключенные в скобках, после элементарных преобразований получим

Мы видим, что 5фак.,. определяется главным образом первым слагаемым (поскольку случайные ошибки измерений малы) и, следовательно, действительно отражает влияние фактора С.

Остаточная сумма

Подставив величины, заключенные в скобках, получим

Мы видим, что 5кч определяется случайными ошибками измерений и, следовательно, действительно отражает влияние случайных причин.

Замечание. То, что S . порождается случайными причинами, следует также из равенства (см. § 3, следствие)

Действительно, SuCm является результатом воздействия фактора и случайных причин; вычитая 5, мы исключаем влияние фактора. Следовательно, «оставшаяся часть» отражает влияние случайных причин.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >