СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

Определение стационарной случайной функции

Среди случайных функций целесообразно выделить класс функций, математические ожидания которых сохраняют одно и то же постоянное значение при всех значениях аргумента t и корреляционные функции которых зависят только от разности аргументов t2 - tv Ясно, что для таких функций начало отсчета арг умента может быть выбрано произвольно. Такие случайные функции называют «стационарными в широком смысле» в отличие от случайных функций, «стационарных в узком смысле» (все характеристики этих функций не зависят от самих значений аргументов, но зависят от их взаимного расположения на оси ().

Из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле; обратное утверждение неверно.

Поскольку мы ограничиваемся корреляционной теорией, которая использует только две характеристики (математическое ожидание и корреляционную функцию), далее рассмотрим случайные функции, стационарные в широком смысле, причем будем их называть просто стационарными.

Стационарной называют случайную функцию X(t), математическое ожидание которой постоянно при всех значениях аргумента t и корреляционная функция которой зависит только от разности аргументов t2 - tv Из этого определения следует, что:

1) корреляционная функция стационарной случайной функции есть функция одного аргумента т = t2-tv т.е.

2) дисперсия стационарной случайной функции постоянна при всех значениях аргумента t и равна значению ее корреляционной функции в начале координат (т = 0), т.е.

Пример. Задана случайная функция Х(1) = cos (t + ф), где ф — случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0, 2я). Доказать, что Х(1) — стационарная случайная функция.

Решение. Найдем математическое ожидание

Используя формулы (**) из гл. 12, § 11 и (*) из гл. 11, § 6, получим Следовательно, m(t) = 0.

Найдем корреляционную функцию, учитывая, что центрированная функция X(t) = X(t) - Mv(t) = X(t) = cos(t + ф):

(Легко убедиться, что M[cos (t2 + tx + 2ф) ] = 0.)

Итак, математическое ожидание случайной функции X(t) постоянно при всех значениях аргумента и ее корреляционная функция зависит только от разности аргументов. Следовательно, X(t) — стационарная случайная функция.

Заметим, что, положив t{ = t., = t в корреляционной функции, найдем дисперсию Dx(t) = K (t, t) = [cos (t -1)/2 = 1/2. Таким образом, дисперсия сохраняет постоянное значение при всех значениях аргумента, как и должно быть для стационарной случайной функции.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >