Свойства корреляционной функции стационарной случайной функции

Свойство 1. Корреляционная функция стационарной случайной функции есть четная функция'.

Доказательство. Корреляционная функция любой случайной функции при перестановке аргументов не изменяется (см. гл. 23, § 10, свойство 1). В частности, для стационарной функции

Положив т = t2 — tv получим

Свойство 2. Абсолютная величина корреляционной функции стационарной случайной функции не превышает ее значения в начале координат:

Дока з ательств о. Для любой случайной функции (см. гл. 23, §10, свойство 4)

В частности, для стационарной функции Следовательно,

Нормированная корреляционная функция стационарной случайной функции

Кроме корреляционной функции для оценки степени зависимости сечений стационарной случайной функции используют еще одну характеристику — нормированную корреляционную функцию.

Ранее нормированная корреляционная функция была определена так (см. гл. 23, § 11):

В частности, для стационарной функции числитель и знаменатель этой дроби имеют вид (см. § 1, соотношения (*) и (**)) Kx.(tv t2) = kx(x), ov(f) = ^Dx(t) = •Jk/Q). Следовательно,для стационарной функции правая часть (*) равна kx(r)/kx(0) и является функцией одного аргумента т; очевидно, и левая часть (*) — функция от т.

Нормированной корреляционной функцией стационарной случайной функции называют неслучайную функцию аргумента т:

Абсолютная величина нормированной корреляционной функции стационарной случайной функции не превышает единицы. Справедливость этого свойства уже была доказана ранее для любой случайной функции (см. гл. 23, § 11). В учебных целях докажем его непосредственно для стационарной функции.

Приняв во внимание, что абсолютная величина частного равна частному абсолютных величин, получим

Учитывая, что | А.(т) | < kr(0) (см. § 2, свойство 2), окончательно имеем

Замена н и е. При т = 0 нормированная корреляционная функция равна единице. Действительно,

Пример. Задана корреляционная функция kr(x) = (1/2) cos т стационарной случайной функции X(t). Найти нормированную корреляционную функцию.

Решение. Воспользуемся определением нормированной корреляционной функции:

Итак, искомая нормированная корреляционная функция

Заметим, что pv(0) = 1, как и должно быть в соответствии с замечанием, приведенным в этом параграфе.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >