Корреляционная функция производной стационарной случайной функции

Теорема. Корреляционная функция производной Х'(! ) = х дифференцируемой стационарной случайной функции Х{! ) равна второй производной от ее корреляционной функции, взятой со знаком минус.

Доказательство. Известно, что корреляционная функция производной любой дифференцируемой случайной функции равна второй смешанной производной от ее корреляционной функции (см. гл. 23, § 16, теорема 2):

По условию, X(t) — стационарная функция, поэтому ее корреляционная функция зависит только от разности аргументов;

Из соотношеният = t2-tl следует, что Учитывая равенства (*), получим

Видим, что искомая корреляционная функция зависит только отт, поэтому К (L, L) = -k (х).

X 1 z X

Итак,

Пример. Задана корреляционная функция kr{т) = 2<Г0,5т2 стационарной случайной функция X(t). Найти: а) корреляционную функцию;

б) дисперсию производной X'(t) = х.

Решение, а) Продифференцировав дважды заданную корреляционную функцию и изменив знак результата на противоположный, найдем искомую корреляционную функцию:

б) Положив т= 0, получим искомую дисперсию

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >