Взаимная корреляционная функция стационарной случайной функции и ее производной

Теорема. Взаимная корреляционная функция дифференцируемой стационарной случайной функции X(t) и ее производной X'(t) =хравна первой производной от корреляционной функции kx{x), взятой со своим (противоположным) знаком, если индекс дГ стоит на втором {первом) по порядку месте:

а) гхх (т) = k'x(x); б) гь. (т) = -k'r(x).

Предполагается, что х = t2-tv

Доказательство, а) По определению взаимной корреляционной функции,

Операции нахождения математического ожидания и дифференцирования можно переставить (см. гл. 23, § 16, замечание 1), поэтому

Так как X(t) — стационарная функция, то ее корреляционная функция зависит только от разности аргументов: Kx{t, t2) = k (т),

дх

racx = t.,-t,, и,следовательно, — = 1.

1 1 3/Таким образом,

Правая часть равенства зависит только от т; следовательно, и левая часть есть функция от т. Обозначив ее через гхх (т), окончательно получим

б) Доказывается аналогично.

Заметим, что поскольку взаимная корреляционная функция гл:-;(т) зависит только от т, то стационарная случайная функция и ее производная стационарно связаны (см. § 4).

Пример. Задана корреляционная функция kr(i) = е~|т|(1 + | т |) стационарной случайной функции X(t). Найти взаимную корреляционную функцию гх> (т) заданной случайной функции и ее производной. Решение. Воспользуемся формулой

а) Пустьт>0. Тогда| т | = т,& (т) = е~ + т), &'(т) = е~т • 1-(1 + х)е~т = = -те.Таким образом, при т > 0

б) Пусть т<0. Тогда |т | = -тД1(т) = е'(1 -т)Д'.(т) = -ет +(1 -х)ет = -хет. Таким образом, при т < 0

Итак, искомая взаимная корреляционная функция

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >