Корреляционная функция интеграла от стационарной случайной функции

t

Теорема. Корреляционная функция интеграла Y(t) = JX(s)ds

о

от стационарной случайной функции равна

Доказательство. Известно, что корреляционная функция

t

интеграла Y(t) = JX(s)ds от случайной функции Х(1.) равна двой- о

ному интегралу от ее корреляционной функции (см. гл. 23, § 17, теорема 2):

Принимая во внимание, что корреляционная функция стационарной случайной функции зависит только от разности аргументов, т.е. Kx(sv s2) = kx(s2 - 5,), получим

Вычисление этого интеграла весьма громоздко, поэтому ограничимся указаниями: перейти к новым переменным т = s2 - s , ?, = = s2 + 5,; начертить новую область интегрирования, ограниченную прямыми т = т = , X =

Рис. 28

= Е, - 2tv т = -Е, + 212 и выполнить интегрирование по Е,. Двойной интеграл по области OABD можно вычислить как разность двойных интегралов по областям О АС и BDC.

При интегрировании по области ODE переставить пределы интегрирования по т и перейти к новой переменной т' = -т (рис. 28).

t

Следствие. Дисперсия интеграла Y(t ) - J X(s)ds от стацио-

о

парной случайной функции равна

Действительно, положив Г, = t2 = t в формуле (*), получим

После приведения подобных членов окончательно имеем

Пример. Задана корреляционная функция & (т) =1/(1 + т2) стационарной

<

случайной функции Х(1). Найти дисперсию интеграла Y(t ) = jA'(.v)c/.s.

о

Решение. Воспользуемся формулой (**):

Выполнив интегрирование, получим искомую дисперсию:

Заметим, что функция Y(t) не стационарна, так как ее дисперсия не постоянна, а зависит от аргумента t.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >