8. Определение характеристик эргодических стационарных случайных функций из опыта

Среди стационарных случайных функций можно выделить класс функций, оценка характеристик которых путем усреднения множества реализаций равносильна усреднению по времени только одной реализации достаточно большой длительности.

С тационарную случайную функцию X(t) называют эргоди- ческой, если ее характеристики, найденные усреднением м н о - жества реализаций, совпадают с соответствующими характеристиками, полученными усреднением по времени одной реализации x(t), которая наблюдалась на интервале (0, 7) достаточно большой длительности.

Достаточное условие эргодичности стационарной случайной функции X(t) относительно математического ожидания состоит в том, что сс корреляционная функция ky(т) при т —^ °° стремится к нулю:

Достаточное условие эргодичности стационарной случайной функции X(t) относительно корреляционной функции состоит в том, что корреляционная функция k (x) при т —> °° стремится к нулю:

где Y(t, т) = X(t)X(t + x).

В качестве оценки математического ожидания эргодической стационарной случайной функции X(t) по наблюдавшейся на интервале (О, Т) реализации x(t) принимают среднее по времени ее значение:

Известно, что корреляционная функция стационарной случайной функции

Таким образом, оценить kv( т) означает оценить математиче-

о о

ское ожидание функции X(t)X(t + т), поэтому можно вое-

о

пользоваться соотношением (*), учитывая, что функция X(t + т) определена при t + т < Т и, следовательно, t < Т-т.

Итак, в качестве оценки корреляционной функции эргодической стационарной случайной функции принимают

либо, что равносильно,

Практически интегралы вычисляют приближенно, например по формуле прямоугольников. С этой целью делят интервал (0, 7} на п частичных интервалов длиной At = Т/п; в каждом частичном

г-м интервале выбирают одну точку, например его середину t.. В итоге оценка (*) принимает вид

Учитывая, что Д/ = Т/п, окончательно получим

Аналогично приближенно вычисляют интеграл (**), полагая, что т принимает значения At, 2At,..., (п - 1)Дt или, что то же, Т/п, 2 Г/д, ЗТ/п (п-)Т/п.

В итоге оценки корреляционной функции (**) и (***) принимают соответственно вид:

где /= 1,2,..., п — 1.

Замечание. Можно показать, что оценка (*) — несмещенная,т.е. Мтп*(т)] = тпх оценка (**) — асимптотически несмещенная, т.е.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >