Системы преобразования последовательностей модулированных дельта-импульсов

Математическая модель вычислительного устройства

Вычислительное устройство цифрового регулятора преобразует числовую последовательность ошибки регулирования в числовую последовательность регулирующего воздействия. Аналогично этому модель ВУ должна осуществлять эквивалентное преобразование входной последовательности модулированных дельта-импульсов в выходную последовательность модулированных дельта-импульсов. Схема такого преобразования представлена на рис. 4.20.

В этой схеме последовательность модулированных дельтаимпульсов лг* (/) поступает на вход линейного непрерывного звена с весовой характеристикой и>(/). Выходной сигнал звена проходя через дельта- импульсный модулятор, преобразуется в выходную последовательность модулированных дельта-импульсов у*(t).

Рис. 4.20. Схема модели вы числительного устройства

Определим z-изображение сигналов **(/) и у*(/), полагая, что все сигналы равны нулю при /<0, т. е. все выражения для сигналов справедливы для / > 0.

Дискретная последовательность у[1Т] может быть получена из непрерывной функции y[t) (непрерывной в силу фильтрующих свойств звена w(/) путем замены текущего времени / на дискретное IT).

Выходной сигнал _у(/) есть результат прохождения сигнала **(/) через звено с весовой характеристикой и>(/). На основании уравнения свертки можно записать

В свою очередь,

и тогда, учитывая свойство четности дельта-функции, получим

Изменяя порядок интегрирования и суммирования, придем к следующему выражению для y[t)

Учитывая, что интегралы, у которых в ядре подынтегрального выражения содержится дельта-функция, вычисляются по правилу

получим

Тогда

Вводя обозначение т-1-к или I - т + к, найдем для У* (z): или, изменяя порядок суммирования.

Нетрудно заметить, что первая сумма есть z-изображение весовой характеристики w(/), определенной в тактовые моменты времени тТ,

а вторая сумма - z-изображение входного сигнала **(/), т. е. X*(z). Обозначая z-изображение весовой характеристики как ^’(z), получим

С другой стороны, W* (z) является отношением z-изображений последовательностей модулированных дельта-импульсов на входе и выходе системы

которую, по аналогии с передаточной функцией непрерывной системы, называют дискретной передаточной функцией. В дальнейшем дискретную передаточную функцию модели вычислительного устройства (рис. 4.20) будем обозначать как fV*_y (z).

Как следует из выражения (4.34), дискретная передаточная функция представляет собой отношение полиномов с отрицательными степенями от z. Поэтому дискретная передаточная функция вычислительного устройства может быть представлена в следующем виде

где ?*(z) и M*(z) соответственно z-изображения последовательностей модулированных дельта-импульсов ошибки регулирования и регулирующего воздействия.

При программной реализации алгоритма работы вычислительного устройства необходимо знать зависимость вычисляемого значения регулирующего воздействия в текущий тактовый момент времени от ошибки регулирования. Эту зависимость можно найти по известной дискретной передаточной функции вычислительного устройства. Порядок выполняемых действий при этом следующий.

1. Преобразуем (4.35) к виду

2. Перейдем из области изображений во временную область, применяя известное свойство z-преобразования - свойство смещения аргумента в области оригинала

Полученное уравнение называют разностным. Разностные уравнения являются дискретными аналогами дифференциальных уравнений.

3. Выразим из разностного уравнения текущее значение регулирующего воздействия

Уравнения такого вида называют рекуррентными.