Изучение предела последовательности и предела функции на базовом и углубленном уровнях

Одними из центральных вопросов курса алгебры старшей школы являются производная функции и ее приложения. Полноценное его изучение представляется неразумным вне знакомства хотя бы на описательном уровне с понятием предела функции в точке. Предел функции и предел последовательности являются фундаментальными понятиями математики. Кроме математического и прикладного значения они несут в себе и культурологическую нагрузку, поэтому знакомство с ними является необходимым ученикам, изучающим математику в старшей школе. Изучение этого материала в школе можно рассматривать и как подготовительный этап для освоения этих понятий в курсах высшей математики. Особенно важно это для тех, кто будет изучать сокращенный курс высшей математики, в котором эти понятия рассматриваются формально, основное внимание уделяется решению задач на вычисление пределов.

Можно предложить конкретно-индуктивный подход к введению понятий предела последовательности и предела функции.

После актуализации понятия последовательности и способов задания последовательностей ученикам предлагаются такие примеры последовательностей:

Изобразив элементы данных последовательностей на координатных прямых, учитель отмечает, что все элементы первой последовательности «садятся» в точку 1 и в любой окрестности данной точки будут находиться все элементы данной последовательности. Для второй последовательности все элементы с четными номерами попадают в точку 2, а с нечетными — в точку - 2, и в каждом случае найдутся окрестности этих двух точек, вне которых будет находиться бесконечно много элементов последовательности. Аналогично и для четвертой последовательности: у каждого нечетного числа найдется окрестность, вне которой будет находиться бесконечно много элементов последовательности.

Самым важным примером является последовательность , 1 „

с(п) = -. Понятно, что с увеличением номера элемента уменьшать

ется расстояние между этим элементом и нулем. Чем ближе к нулю, тем теснее располагаются элементы последовательности на координатной прямой, постепенно уменьшается расстояние между ними. Кроме того, понятно, что, выбрав какую-либо окрестность нуля, можно определить номер элемента, начиная с которого все элементы последовательности попадают в выбранную окрестность (например, для окрестности радиуса 0,01 — это все элементы, начиная со 101-го, для окрестности радиуса 0,000001 — все элементы с 1 000 001-го и т.д.). В любой окрестности числа 0 будет находиться бесконечно много элементов последовательности. Аналогичная ситуация и в пятом примере, где элементы будут приближаться к нулю с двух сторон: все элементы с четными номерами справа, с нечетными — слева. Показав эти закономерности, учитель может сформулировать окрестно- стное определение предела последовательности, ввести символику и записать:

п ft 3 + п

С помощью последнего примера J(n) =-, предварительно

п

3 + п 3

представив правую часть в виде-= - + 1, учитель иллюстри-

п п

рует теоремы о пределах суммы, константы, вынесение числового множителя за знак предела, а также формулирует и записывает теоремы о пределе произведения и частного. В достаточно подготовленных классах учитель может переформулировать окрестностное определение на языке в-5, показать основную идею доказательства теорем о пределах — оценку составленных по определению предела неравенств, привести примеры вычисления пределов, ввести

< 1V7

число е = lim 1 + — .

п —* оо

V п /

На основании полученных знаний учитель затем конкретно-индуктивным путем вводит окрестностное определение предела функции в точке. Для этого можно использовать, например, график следующей функции:

С помощью графика данной функции учитель иллюстрирует окрестностное определение предела функции в точке (для подготовленной аудитории возможно использование языка с-8). Для этого выбирается несколько точек, например х = -2, х = -1, х = О, х = 1, х = 3. В первом случае с помощью графика учитель показывает, что, выбрав на оси 0у какую-либо окрестность точки 4, удается с ее помощью найти на оси Ох окрестность точки -2 такую, что значения функции от всех элементов из этой окрестности попадают в выбранную окрестность точки 4. Следовательно, по мере приближения значений аргумента к х = -2 слева и справа значения функции приближаются к у = 4. Это число является пределом функции в данной точке, при этом пишут lim /(х) = 4. Аналогичная ситуация наблюдается и для х = -1, х = 0, х = 1, но в первом и третьем случаях это условие выполняется для всех точек, кроме х — их = 1 соответственно, при этом в точкех = - 1 функция не определена, но предел существует, а в точке х = 1 предел функции не совпадает с ее значением. После чего формулируется определение предела функции в точке х0, ограничение в определении (при х ^ х0) было обосновано. В точке х = 2 существуют только односторонние пределы, на это следует обратить внимание учеников. Данные понятия понадобятся при построении графиков разрывных функций. С помощью данной функции также вводятся понятия непрерывной в точке и на интервале функции, разрывной функции. Можно познакомить учеников с понятиями устранимого и неустранимого разрывов, сформулировать теорему о непрерывности дробно-рациональной функции на ее области определения. На осново аналогии формулируются теоремы о пределе суммы, произведения, частного, которые не доказываются, а также приводятся

sinx

примеры замечательных пределов Пт —— = 1 (они потребуются

.v-O х

при вычислении производной функции синус).

Упражнения посвящены повторению метода интервалов, исследованию функции элементарными средствами, построению графиков, повторению других вопросов. В классах с углубленным изучением математики, несмотря на более высокий уровень математической подготовки учеников, вполне возможна рассмотренная выше схема введения понятий предела числовой последовательности и предела (функции в точке.

В дополнение в этих же классах можно рассмотреть определение предела функции в точке по Гейне на языке числовых последовательностей с рассмотрением ряда примеров.

Определение. Пусть функция/определена на некоторой проколотой окрестности U(x0) точки х0. Число А называется пределом функции f в точке х0 (или при х, стремящемся к х0), если для любой

о

последовательности хп е О(х0), п = 1,2, ..., сходящейся к точке х0 (т.е. lim хп = х0), соответствующая последовательность {/(.хп)} схо-

п —* оо

дится к числу А, т.е. верно равенство lim f(xn) = А. При этом пишут А = lim f(x).

В каком-то смысле это определение предела функции в точке более естественно, чем определение на языке с-8, широко распространенное в учебниках и методических рекомендациях. Если допустить введение определения предела функции в точке на языке числовых последовательностей, то обнаруживается и логическая, и дидактическая целесообразность такого методического подхода. Действительно, к моменту изучения понятия предела функции в точке учащиеся уже знают определение предела числовой последовательности и имеют некоторые навыки вычисления пределов. Поэтому на основе легко просматриваемой генетической связи понятий предела числовой последовательности и предела функции в точке можно построить весьма эффективную методику изучения этого раздела. Сложившаяся же практика обучения в силу ряда причин ориентирована на использование языка с-8. Объяснение этому может быть найдено в широте применений понятия предела функции в точке на языке с-8 в сфере прикладных вопросов.

В определении предела функции в точке на языке числовых последовательностей (как, впрочем, и на языке с-8) «прописан» алгоритм, который надо реализовать, чтобы установить факт существования предела функции в данной точке, равного числу А.

Рассмотрим элементы методики работы с примерами на применение определения предела функции в точке по Гейне.

Вычислить предел функции f(x) = х2 - 2хприх—>1. Предположим, что lim /(^существует. Выберем какую-либо последовательность

X— 1

о .

х е ?/(1), п = 1, 2,..., сходящуюся к точкех0 = 1 ( lim х = 1), например

/2 — 00

1

хп = 1 + -.Па основании теорем о свойствах пределов числовых после-

77

. Г О

доватсльностей и при lim хп = lim 1 + - =1 получим

/2 — 00 /2 — ool YI ^

Доказать, что lim cos.r не существует. Рассмотрим последователь-

Д'— оо

ность хп = пп такую, что lim пп = оо. Тогда соответствующая последо-

/2 — 00

вательность f(xfi) = cos кп = (-1)", принимающая значения -1, 1, -1..., как видно, не имеет предела. Этот пример наиболее естественно решается в рассматриваемой логике.

х2 - 4

Показать, что пт-= 4. Очевидно, что воспользоваться теоре-

х—>2 х - 2

мами о свойствах пределов в данном случае невозможно. Возьмем ка-

о

кую-нибудь последовательность хп е U(2), п = 1, 2, ..., сходящуюся к точке х0 = 2 ( lim хп = 2), например хп = 2 + Тогда, преобразуя вы-

/2 — оо у1

ражение для f(xt]):

и вычисляя соответствующий предел, получим: lim f(xn) = 4.

/2-00

Можно составить и другие содержательные в дидактическом смысле примеры. На основе определения предела функции в точке по Гейне достаточно естественно рассматриваются свойства пределов функций и вводится определение понятия непрерывной в точке функции.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >