Введение понятия «первообразная функции» и изучение определенного интеграла

Из достаточно большого числа разнообразных подходов к введению понятия интеграла можно остановиться на следующем.

Изучение интеграла целесообразно начать беседой с учащимися о том, что для операции дифференцирования функций существует и обратная операция, называемая интегрированием. В качестве примеров можно воспользоваться примерами из математики и истории развития физики. Например, найти такую функцию, производная которой равна заданной функции на промежутке /, или рассмотреть механическую задачу — как но известной скорости определить закон движения тела. Па этой логической основе, используя таблицу производных, построить таблицу таких функций, производная которых равна заданной, и ввести определение первообразной для данной функции J, при этом широко использовать понятие дифференциала. Далее показать, что у функции / существует целое семейство первообразных, отличающихся друг от друга на величину действительной константы С. Ввести определение и символ неопределенного интеграла с рассмотрением ряда его свойств и переписать таблицу первообразных с применением символа неопределенного интеграла.

Так как уже имела место геометрическая иллюстрация примера механического содержания, то, воспользовавшись ею еще раз, ввести определение понятия «криволинейная трапеция» и показать сначала на конкретном примере процедуру составления интегральных сумм. В случае существования при определенных условиях предела этих сумм предел называется определенным интегралом. На основе этого определения вводится символ определенного интеграла и устанавливается связь между определенным интегралом и площадью соответствующей фигуры. Здесь же формулируется проблема о связи неопределенного и определенного интегралов. Это обстоятельство может быть установлено с применением понятия интеграла с переменным верхним пределом с последующим доказательством формулы Ньютона — Лейбница.

Для совместной работы по применению определенного интеграла при вычислении площади фигуры рекомендуются следующие примеры заданий.

Задание 20.12

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 4 - х2, осью абсцисс и прямыми х = 1, х = 2.

Задание 20.13

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

у = х2 и у = х3.

Задание 20.14

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = х2 и у = -х2 + 4.

Задание 20.15

Вычислить площадь фигуры, ограниченной: а) графиками функций у = х3и у = 2 - х, прямой х = 0; б) прямой у = 0, графиками функций

у = х?> у = 2 - х.

В задании 20.12 формула вычисления площади криволинейной трапеции применяется непосредственно. Задание 20.13 интересно расположением графиков функций (график функции у = х3 расположен ниже графика функции у = х2) и способом определения пределов интегрирования (их можно либо вычислить аналитически, либо «снять» с графика, сделав затем проверку подстановкой).

В задании 20.14 пределы интегрирования можно определить

лишь из уравнения х2 = -х2 + 4, и в ней получается симметричная

Л

относительно оси ординат фигура, поэтому S = 2 J (-2х2 + 4)dx.

о

В задании 20.15 получаются две различные фигуры. Для вычисления площади второй фигуры ее следует разбить на две фигуры, площадь получившегося треугольника можно вычислить как по формуле, так и с помощью интеграла.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >