Комплексные уравнения состояния электрической цепи

Электрическое состояние цепей синусоидального тока, так же как и цепей постоянного тока, описывается с помощью уравнений, составленных в соответствии с законами Кирхгофа.

Все положения относительно математической модели электрической цепи, описанные в параграфе 1.6, остаются справедливыми для цепей с переменными токами. Добавляются новые свойства моделей элементов цепи. Уточняются требования к понятию электрической цепи, связанные с возникновением токов смещения и ЭДС электромагнитной индукции в проводах.

В общем виде тригонометрическое уравнение по первому закону Кирхгофа для узла цепи синусоидального тока имеет вид

где п — число ветвей, соединенных в узле.

Как было показано в параграфе 2.4, этому уравнению соответствует уравнение первого закона Кирхгофа в комплексной форме (например, для действующих комплексных токов)

Правила знаков при составлении уравнений (2.8.16) остаются теми же, что и в цепях постоянного тока: токи, положительные направления которых выбраны от узла, следует брать со знаком плюс, а токи, положительные направления которых выбраны к узлу, — со знаком минус.

Для любого контура цепи с синусоидальными напряжениями справедливо тригонометрическое уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа.

В идеализированных электрических цепях магнитное поле считается сосредоточенным только на участках цепи, содержащих индуктивные элементы. При обходе замкнутого контура цепи всегда можно выбрать путь, лежащий вне переменного магнитного поля, а участок, содержащий индуктивный элемент, характеризовать разностью потенциалов, т.е. напряжением между его полюсами; при этом изменение потенциала в любом замкнутом контуре цепи синусоидального тока равно нулю. Поэтому, согласно второму закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений всех участков замкнутого контура равна нулю:

где т — число участков рассматриваемого контура.

Тригонометрическое уравнение можно заменить соответствующим ему комплексным уравнением второго закона Кирхгофа (например, для действующих комплексных напряжений)

Применительно к схемам замещения с источниками ЭДС второй закон Кирхгофа можно сформулировать таким образом: алгебраическая сумма комплексных напряжений на пассивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур:

Правила знаков при составлении уравнений (2.8.2) и (2.8.3) остаются теми же, что и в цепях постоянного тока: слагаемые берут со знаком плюс в случае, когда направление обхода совпадает со стрелкой положительного направления соответственно напряжения, тока или ЭДС.

Ниже приведены примеры записи комплексных уравнений второго закона Кирхгофа для схем рис. 2.8.1. Примеры электрических схем с комплексными токами и напряжениями

Рис. 2.8.1. Примеры электрических схем с комплексными токами и напряжениями

Направления стрелок комплексных напряжений и токов на схемах замещения имеют в конечном счете тот же смысл, что и направления стрелок мгновенных напряжений и токов. Эти условно-положительные направления необходимы для правильного учета начальных фаз токов и напряжений в системе уравнений, т.е. для правильной записи знаков плюс и минус в системе уравнений.

Упражнение 2.8.1

Для схемы на рис. 2.8.2 составлены два уравнения по второму закону Кирхгофа:

Барианты ответа:

  • 1) справедливо только уравнение а);
  • 2) справедливо только уравнение б);
  • 3) справедливы оба уравнения;
  • 4) оба уравнения нс справедливы.

К упражнению 2.8.1

Рис. 2.8.2. К упражнению 2.8.1

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >