Комплексные уравнения состояния электрической цепи

Электрическое состояние цепей синусоидального тока, так же как и цепей постоянного тока, описывается с помощью уравнений, составленных в соответствии с законами Кирхгофа.

Все положения относительно математической модели электрической цепи, описанные в параграфе 1.6, остаются справедливыми для цепей с переменными токами. Добавляются новые свойства моделей элементов цепи. Уточняются требования к понятию электрической цепи, связанные с возникновением токов смещения и ЭДС электромагнитной индукции в проводах.

В общем виде тригонометрическое уравнение по первому закону Кирхгофа для узла цепи синусоидального тока имеет вид

где п — число ветвей, соединенных в узле.

Как было показано в параграфе 2.4, этому уравнению соответствует уравнение первого закона Кирхгофа в комплексной форме (например, для действующих комплексных токов)

Правила знаков при составлении уравнений (2.8.16) остаются теми же, что и в цепях постоянного тока: токи, положительные направления которых выбраны от узла, следует брать со знаком плюс, а токи, положительные направления которых выбраны к узлу, — со знаком минус.

Для любого контура цепи с синусоидальными напряжениями справедливо тригонометрическое уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа.

В идеализированных электрических цепях магнитное поле считается сосредоточенным только на участках цепи, содержащих индуктивные элементы. При обходе замкнутого контура цепи всегда можно выбрать путь, лежащий вне переменного магнитного поля, а участок, содержащий индуктивный элемент, характеризовать разностью потенциалов, т.е. напряжением между его полюсами; при этом изменение потенциала в любом замкнутом контуре цепи синусоидального тока равно нулю. Поэтому, согласно второму закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений всех участков замкнутого контура равна нулю:

где т — число участков рассматриваемого контура.

Тригонометрическое уравнение можно заменить соответствующим ему комплексным уравнением второго закона Кирхгофа (например, для действующих комплексных напряжений)

Применительно к схемам замещения с источниками ЭДС второй закон Кирхгофа можно сформулировать таким образом: алгебраическая сумма комплексных напряжений на пассивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур:

Правила знаков при составлении уравнений (2.8.2) и (2.8.3) остаются теми же, что и в цепях постоянного тока: слагаемые берут со знаком плюс в случае, когда направление обхода совпадает со стрелкой положительного направления соответственно напряжения, тока или ЭДС.

Ниже приведены примеры записи комплексных уравнений второго закона Кирхгофа для схем рис. 2.8.1.

Рис. 2.8.1. Примеры электрических схем с комплексными токами и напряжениями

Направления стрелок комплексных напряжений и токов на схемах замещения имеют в конечном счете тот же смысл, что и направления стрелок мгновенных напряжений и токов. Эти условно-положительные направления необходимы для правильного учета начальных фаз токов и напряжений в системе уравнений, т.е. для правильной записи знаков плюс и минус в системе уравнений.

Упражнение 2.8.1

Для схемы на рис. 2.8.2 составлены два уравнения по второму закону Кирхгофа:

Барианты ответа:

• 1) справедливо только уравнение а);
• 2) справедливо только уравнение б);
• 3) справедливы оба уравнения;
• 4) оба уравнения нс справедливы.

Рис. 2.8.2. К упражнению 2.8.1