МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ЦЕПЕЙ

Расчеты электрических цепей с помощью математической программы МаШсас!

Анализ многих электрических цепей требует громоздких расчетов: вычисления выражений с комплексными числами, решение линейных и нелинейных алгебраических уравнений, решение дифференциальных уравнений. Некоторые вычисления приходится заменять приближенными графическими построениями, например решение нелинейных уравнений, построение векторных диаграмм. От ряда других вычислений приходится отказываться из-за непреодолимых трудностей.

Большую помощь в расчетах может оказать персональный компьютер со специальными математическими программами. В настоящее время известно множество таких программ: МаЛаЬ, МагЬсас!, МагЬешаИса и др.

Особое место среди этих программ занимает программа МаНгсаб благодаря хорошему сочетанию богатых возможностей с удобными правилами использования и сравнительно скромными требованиями к аппаратным ресурсам ПК. Важно также, что эта программа развивается с сохранением основных правил использования, поэтому она выбрана нами для решения задач этой книги.

Программа МаНкаб позволяет проводить следующие действия:

  • 1) символьные и численные расчеты по сложным формулам, расчеты зависимостей, решение нелинейных алгебраических уравнений, решение систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, вычисления выражений с комплексными числами, расчеты со стандартными тригонометрическими и алгебраическими функциями, расчеты с именованными величинами;
  • 2) составление таблиц;
  • 3) изображение графиков зависимостей;
  • 4) распечатку таблиц и графиков;
  • 5) сохранение текста программы вычислений и результатов вычислений в файлах;
  • 6) загрузку (чтение, редакцию, вычисление) готовых текстов программ и массивов данных;
  • 7) ввод и вывод массивов данных.

Программа МаНкаб имеет удобную справочную систему помощи для пользователя. На русском языке имеется много книг с описанием различных версий программы МаНшаб, например [5, 6]. Поэтому далее в учебнике приводятся только общие сведения о работе с программой и тексты приложений (документов) для решения типовых электротехнических задач. Эти тексты можно набрать в Mathcad, редактировать численные значения и выражения, проводить вычисления, распечатывать в виде отчета, сохранять в виде файлов документов.

Программа Mathcad используется следующим образом. После запуска программы на ПК соответствующей конфигурации пользователь получает чистую рабочую страницу, на которой он может записать математические выражения в привычной символьной форме и некоторые условные выражения. Если установлен режим автоматических вычислений, то программа производит вычисления сразу после набора выражения. В ручном режиме вычисления производятся только после дополнительной команды.

Программа Mathcad различает регистр символов (прописные или строчные).

Если записано множество выражений, то вычисления проводятся в порядке их расположения на экране — слева направо и сверху вниз. При записи выражений следует учесть, что при численных расчетах программа оперирует с величинами, числовые значения которых ей уже известны. Поэтому должна быть обеспечена определенность числовых значений для всех величин, входящих в выражения.

Эти значения задаются в явной форме путем записи выражений, присваивающих значения. Например, выражения (здесь и дальше в рамке помещается распечатка изображения на экране дисплея Г1К)

вводят переменные, символы присвоения и задают значения /? = 10,5 кОм, ЭДС Е = 100 В, / = Е/Л. После ввода знака равенства в последнем выражении появляется результат вычислений. Каждое выражение на странице занимает отдельный регион. Регионы не должны перекрываться. Обычно регионы на странице не выделяются, но можно их выделить рамками и цветом фона. В одной строке можно записать несколько регионов с формулами или текстом. Регионы разделяются пустыми промежутками.

Значение переменной можно вывести в отдельном регионе:

Заметим, что в числовом выражении здесь используется точка для отделения дробной части числа.

Mathcad поддерживает вычисления с размерностями величин, однако проще записывать исходные данные в системе СИ и размерности записывать в виде комментариев. Регионы с комментариями начинаются с двойной кавычки. В примере вводились две двойных кавычки. Первая кавычка не видна в тексте, вторая позволяет выделить текстовый регион в распечатке. Рассмотрим пример 7.1. Здесь в п. 3 записано присвоение величине к переменного целочисленного значения от 1 до 5, чтобы в п. 5 задать построчно столбец Rp переменных значений. Для этого в нижний индекс записана величина к (для заготовки индексованной величины можно в палитре объектов Matrix выбрать Хп). В п. 6 записана формула для расчета значений тока в виде строк столбца 1. В п. 7 выведены столбцы значений сопротивления, искомого тока и график зависимости тока от сопротивления приемника. Для получения графика использован объект X-YPlot в палитре Graph.

В примере 7.2 применен другой способ задания значений сопротивления приемника в той же задаче. В п. 3 задаются границы интервала значений R/}, в п. 5 — начальное значение, через запятую — второе значение и че-

рсз многоточие (на клавиатуре символ точки с запятой V) последнее значение сопротивления приемника. Для расчета значений тока используется функция /(/?/;), которая записана в п. 6. Этот способ более привычен и используется чаще.

В программе МаЛсаб можно использовать комплексные числа. Комплексную величину можно задать в алгебраической или экспоненциальной форме (пример 7.3):

В этом примере рассчитываются токи приемника 2 при двух значениях напряжения на приемнике.

В первой строке задаются исходные данные, ввод числа завершается вводом единицы сопротивления С1 (Ом) или напряжения V(В). В значениях искомого тока приемника Ма^саб записал размерность А (А).

Мнимая единица может быть записана символом ] или г, результат МаН1саб выводит с символом г. При вводе мнимой части надо начинать с числа и завершать вводом мнимой единицы. Если значение мнимой части равно 1, то надо набрать 1 и мнимую единицу.

В примере 7.3 в выражении для напряжения [7, использованы функция ехр(х) с мнимым аргументом х, в выражении для 02 показательная функция ех. По смыслу они эквивалентны, но первый вариант лаконичнее.

В программе МаПшаб не предусмотрены специальные символы для обозначения комплексных величин, как это принято в электротехнике (подчеркивание комплексных сопротивлений, токов, напряжений и ЭДС, звездочки над сопряженными комплексными величинами). Комплексный характер величины декларируется в программе МаЛсаб в выражениях, присваивающих комплексные значения, или следует автоматически из вычислительного процесса.

Для обозначения частей комплексной величины следует использовать какое-то новое обозначение. В примере модуль комплексного тока /1 обозначен как то(11 и найден через оператор модуля в виде вертикальных линий. Аргумент комплексного числа вычисляется в радианах с помощью функции ащ(рс). Действительная и мнимая части находятся соответственно с помощью функций Яе(х) и 1т(х).

В следующем примере 7.4 приведена программа решения однородного уравнения у(х) = 0 с помощью функции гоо1(у(х)> х0).

В функции root() для поиска корпя используется метод последовательных приближений. Поэтому требуется задать начальное приближение х0. Для выбора начального приближения строится график и находятся приближенные значения корней. В примере — два корня. Далее выбираются два значения начальных приближений, близкие к этим корням := -1 и х := 2), и с помощью функции root вычисляются точные значения корней.

В примере 7.5 приведена программа расчета токов методом уравнений Кирхгофа в схеме на рис. 7.1.1, т.е. линейной системы уравнений, с помощью блока решения системы нелинейных уравнений. Для решения системы уравнений следует записать:

  • • задание исходных данных;
  • • выражения, присваивающие искомым переменным значения начального приближения (см. комментарий ниже);
  • • слово Given («давать»);
  • • уравнения (левая и правая части соединяются символом «жирный» знак равенства из палитры Boolean Tolbar);
  • • выражение со словом Find («найти»), определяющее перечень искомых величин;
  • • выражения для вывода искомых значений.

Важно учесть, что в записи системы уравнений используются символы приближенного знака равенства, которые находятся в палитре Boolean объектов Mathcad. Для записи столбца Ik — искомых значений решения II, 12,13 используется команда присвоения ему найденных значений.

Возможность решения и время вычислений зависят от выбора начального приближения, так как в программе Mathcad используется метод последовательных приближений. При расчете электрических цепей для выбора начального приближения удобно использовать приближенные значения токов и напряжений, полученных при округленных значениях сопротивле-

Схема замещения цепи постоянного тока

Рис. 7.1.1. Схема замещения цепи постоянного тока

ний, пренебрежении малыми сопротивлениями резисторов при их последовательном соединении и большими — при параллельном соединении.

В рассмотренном примере начальные значения вычисляются при грубых упрощениях цепи: ток источника определяется при коротком замыкании параллельного участка цепи, токи ветвей приняты равными.

Чем меньше отличие начальных значений от искомых, тем меньше время вычислений. В некоторых случаях неудачный выбор начальных значений может привести к расходимости процесса решений и остановке вычислений. При таком результате необходимо повторить попытку вычисления с другим начальным приближением.

Другой фактор, влияющий на время вычисления, — значение «допуска нуля», которое устанавливается с помощью параметров TOL и CTOL в меню Tools/Worksheet Options.

В рассмотренном примере использован мощный аппарат решения системы нелинейных уравнений, в то время как задача описывается системой линейных уравнений. Ошибки тут нет. Далее рассматривается решение линейной задачи матричным методом. Достоинство примера 7.5 заключается в простоте записи условия задачи в программе и метода решения.

Достоинства программы Mathcad не проявляются в полной мере в выбранном примере, так как цепь постоянного тока со смешанным соединением элементов может быть рассчитана достаточно просто методом эквивалентных преобразований. Однако уже в случае синусоидальных токов и реактивных элементов при той же схеме замещения достоинства программы Ма1Ьсас1 проявляются в полной мере.

В примере 7.6 приведена программа для анализа цепи со смешанным соединением элементов (см. рис. 7.1.1) в случае источника синусоидального тока и комплексных сопротивлений приемников.

Решение системы линейных уравнений можно получить в программе Ма1Ьсас1 и более точным способом — с помощью операций с матрицами.

Ниже приведена распечатка программы (пример 7.7) для цепи синусоидального тока со смешанным соединением приемников. В этом примере не удается использовать размерные величины, так как в матрице и столбцах должны быть величины одной размерности. При наполнении матриц использованы уравнения в примере 7.6.

Аналогичным образом рассчитывается сложная мостовая цепь (рис. 7.1.2) постоянного тока в примере 7.8.

Схема мостовой цепи постоянного тока

Рис. 7.1.2. Схема мостовой цепи постоянного тока

В матрице Я первые три строки — коэффициенты уравнений по первому закону Кирхгофа (соответственно по порядку для узлов а, Ь и с). Далее следуют строки с коэффициентами уравнений по второму закону Кирхгофа для контуров, которые легко увидеть на схеме по перечню резистивных элементов.

Аналогично рассчитываются цепи при использовании методов узловых потенциалов и контурных токов. При этом оказывается, что объем программы мало зависит от используемого метода анализа. Так, в последнем примере при использовании метода узловых потенциалов (контурных токов) система уравнений сокращается до трех уравнений, однако потребуется записать дополнительно шесть выражений для расчета токов ветвей через потенциалы узлов (три выражения для токов ветвей через контурные токи).

Время вычислений во всех случаях незначительное, поэтому различие при разных методах несущественное. По этой причине практически удобнее для анализа состояния цепей использовать уравнения Кирхгофа.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >