Семантические парадоксы

К семантическим парадоксам относятся парадоксы лжеца (Евбулида), ГреллингаНельсона, Ришара, Берри (упрощенный вариант парадокса Ришара).

Рекурсия: бонус

  • 16. Опубликовано в Интернете: «Главная особенность цитат в Интернете состоит в том, что люди сразу верят в их подлинность (В. И. Ленин)».
  • 17. Есть 10 типов людей: те, которые понимают двоичный код, и те, которые его не понимают.
  • 18. Люди делятся на две категории: те, которые могут быть разделены па две категории, и те, которые не могут.
  • 19. А вы знали?.. Говорят, что люди, которые злоупотребляют многоточиями... они склонны к вранью... да!., так вот! (Л. Болквадзё).
  • 20. Чтобы понять рекурсию, надо понять рекурсию.
  • 1) Парадокс лжеца — «король логических парадоксов». Он был открыт еще в Древней Греции философом Евбулидом из Милета (IV в. до н.э.), представителем так называемой Мстарской школы, поэтому квалифицируется иногда как «парадокс Евбулида».

Рассмотрим такое высказывание: «Это высказывание ложно». Оно описывает некоторое положение дел, а конкретно то, что некоторое (а именно: это самое) высказывание ложно. Если (и только если) высказывание описывает то, что на самом деле имеет место, оно истинно, в противном случае оно ложно. Но вот что оказывается: если высказывание «Это высказывание ложно» истинно, то выходит, что оно ложно (потому что именно о его ложности идет в нем речь), а если оно ложно, то то, что в нем говорится, правда, и поэтому оно истинно. Обобщая: искомое высказывание «Это высказывание ложно» истинно тогда и только тогда, когда ложно. Получается парадокс, который и получил название парадокса лжеца (рис. 2.3). Это, без сомнения, самый известный логический парадокс[1].

Парадокс лжеца

Рис. 2.3. Парадокс лжеца

«Парадокс лжеца произвел громадное впечатление на греков, вообще склонных к теоретическому умозрению. И легко понять, почему. Вопрос, который в нем ставится, с первого взгляда кажется совсем простым: лжет ли тот, кто говорит только то, что он лжет? Но ответ “да” приводит к ответу “нет”, и наоборот. И размышление ничуть не проясняет ситуацию. За простотой и даже обыденностью вопроса оно открывает какую-то неясную и неизмеримую глубину. Ходит даже легенда, что некий Филит Косский, отчаявшись разрешить этот парадокс, покончил жизнь самоубийством. Предание говорит, что древнегреческий логик и философ Диодор Кронос (ум. ок. 307 до н.э.)1 — уже на склоне лет дал обет не принимать пищу до тех пор, пока не найдет решения парадокса лжеца, и вскоре умер, так ничего и не добившись. В древности “лжец” рассматривался как хороший пример двусмысленного выражения» (А. Ивин)[2] [3]. В Средние века этот парадокс был отнесен к так называемым неразрешимым предложениям (инсолюбилиям) и сделался объектом систематических аналитических исследований.

Писались даже специальные трактаты «De insolu- biliis» («О неразрешимых предложениях»). Этой темой занимались, например, такие выдающиеся умы Средневековья, как Жан Буридан (ок. 1300 —1358) — тот самый, который придумал «буриданова осла»,

Уильям Оккам (ок. 1300 — 1349) — известный своей «бритвой» — методологическим принципом «Не следует умножать сущности и усложнять дело без явной на то необходимости», Альберт Саксонский (1316—1390), Паоло Николетта (Венецианский) (XV—XVI вв.), Стефан де Монте (XV в.) и другие.

Курт Гёдель (1906-1978)

В последующие века (после завершения эпохи Средневековья) «лжец» не привлекал никакого внимания. За ним не видели никаких, даже малозначительных, затруднений, касающихся употребления языковых выражений[4]. Знаменитый историк логики XIX в. Карл Прантль искренне считал, что обсуждение темы парадоксов (инсолюбилий) представляет собой чистую схоластику, что здесь совершенно отсутствуют подлинные проблемы. Действительность опровергла выводы Прант- ля очень быстро. Величайшие достижения математики XX в. — теоремы об ограниченностях формализмов Курта Гёделя и Альфреда Тарского — основываются на формализации фактически идей самоприменимости, содержащихся как раз в парадоксе лжеца.

Попробуем в самом общем виде донести до читателей конструктивную идею Гёделя, ибо она отлично демонстрирует эвристический потенциал нестандартного мышления. К. Гёдель рассматривает формальную систему аксиоматизированной арифметики. В ней присутствуют выражения типа «2 + 3 = 5», «Существует х такой, что = 20» (т.е. «20 делится на 5 без остатка»), «Существует единственный х такой, что найдется у такой, что 2у = ху и не существует такого г/, что у Ф 1, у Ф х, чтобы существовал z такой, что yz-х» («Существует единственное четное простое число») и т.д. Гёдель показал (разработав свой метод так называемой орифметизации), что всем выражениям языка арифметики можно однозначным образом сопоставить некое число — «гёделев номер» этого выражения (и обратно: по гёделеву номеру можно однозначно восстановить соответствующее выражение). Для начала каждому исходному символу (знакам чисел, скобкам, символам V «все», 3 «некоторые», х, +, > и т.д.) приписывается некоторый гёделев номер.

Рекурсия:

она всегда возвращается

  • 21. Объявление на двери мастерской: «Замена батареек в элементах питания». В заводных апельсинах, что ли?
  • 22. В школе задали сочинение на свободную тему. Некий парень написал работу «Что такое лень?». Первая страница пустая, вторая... на третьей написано: «Вот что такое лень» (Интернет).
  • 23. Может ли быть научной дисциплина, сомневающаяся в научности науки? (О. Гон- чарко).
  • 24. Пост в социальной сети: «Ты свободный человек? Жми “Мне нравится” и “Рассказать друзьям”, если тобой нельзя манипулировать!» (Интернет).
  • 25. Употребление термина «рекурсия» в предложении может свидетельствовать о том, что сказанное в нем касается его самого (К. М).
  • 26. Вскрытие показало, что пациент умер от вскрытия (фоль- клор)._

Гёделев номер целого выражения высчитывается по формуле N = 2а х ЗР х 5y х где 2, 3, 5... — последовательные простые числа, а, (3, у... гёделевы номера соответственно первого, второго, третьего и т.д. символов в составе этого выражения.

И вот тут и начинается самое интересное.

Очевидно, что на языке арифметики буквально невозможно сформулировать утверждение, описывающее сам этот язык (например, «“2 + 3 = 5”— выражение языка арифметики»). Здесь граница между объектным языком и метаязыком непроходима. Но гёделевский метод пересчета позволяет очень изящным образом обойти эту границу. Это, без сомнения, одна из самых красивых интеллектуальных находок за всю историю человечества.

Покажем, как это делается, немного упрощая рассуждение самого Гёделя. В самом деле, пусть гёделевский номер символа «2» — а, символа «+» — Р, символа «3» — у, символа « = » — 8 и символа «5» — в. Тогда гёделевский номер выражения «2 + 3 = 5» будет 2а х ЗР х 5y х 75 х 11^. Это некое конкретное число gy пусть и очень большое.

Очевидно, что число, скажем, 2а является его делителем. Иными словами, в языке арифметики можно построить вполне законное утверждение «Существует х такой, что 2а х х = g». Но у этого «обычного» математического утверждения есть и двойное дно. Фактически его можно проинтерпретировать и так: «Знак “2” является первым знаком в выражении “2 + 3 = 5”». Но ведь это уже информация метаязыкового характера! Таким образом, Гёдель получил возможность «шифровать» утверждения о языке арифметики на самом этом языке. Ему удалось погрузить в объектный язык и понятия «последовательность выражений» и «доказуемое утверждение». Вершиной метода гёделизации (фактически формализующего, как мы видим, идеи парадокса лжеца) стало погружение в язык самой арифметики метаязыкового утверждения «Это утверждение недоказуемо в данной системе S» (причем «это» относится, как вы понимаете, к самому этому утверждению — грубо говоря, гёделев номер всего выражения подставляется в само это выражение, причем на практике это происходит «в несколько кругов»!). Если бы это утверждение в его объектном значении было ложным, оно оказалось бы доказуемым (поскольку его «зашифрованный» смысл утверждает обратное). Но поскольку из аксиом арифметики можно вывести только истинные утверждения (правила вывода сохраняют истинность, а аксиомы истинны по определению), это допущение приводит нас к противоречию.

Забойщики

Под руководством нового тренера паши футболисты стали больше забивать. Теперь они забили даже на чем- пионат мира._

Следовательно, гёделевское предложение истинно (т.е. излагает какую-то конкретную истину относительно мира чисел). Но раз оно истинно, его «второй» смысл говорит нам о том, что оно недоказуемо в данной формальной системе! Таким образом, Гёделю удалось доказать (предъявив конкретный метод построения соответствующего «контрпримера»), что, какой бы ни бъича система аксиом, базирующаяся на аксиомах арифметики, в такой системе всегда будет существовать некоторое недоказуемое предложение, которое, тем не менее, является истинным[5] [6] Опираясь на результаты Гёделя, говорят, что формальная арифметика принципиально неполна (и, соответственно, неполна любая система, содержащая ее, — а куда без арифметики в науке?). Таким образом, мы видим, что «только в XX в. развитие логики достигло, наконец, того уровня, когда проблемы, связанные с парадоксом лжеца, стало возможным формулировать уже в строгих терминах» (А. Ивин).

Мы настоятельно советуем нашим читателям обратиться к замечательной книге знаменитого физика, логика и математика XX в. (кстати, унаследовавшего у великого Мартина Гарднера колонку занимательной науки в Scientific American) Дагласа Хофштадтера «Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда», за которую он получил престижнейшую Пулитцеровскую премию. В этом интеллектуальном бестселлере в увлекательной литературной (с элементами детектива) форме излагается самая суть метода самоприменимости на совершенно различном материале — от музыки и дзен-буддистских коанов до теорем об ограниченностях формализмов и самоссылающихся текстов. Это самое популярное и доступное изложение метода Гёделя. И, конечно, парадоксы, парадоксы, парадоксы... (http:// www.logic-books.info/node/319).

Выполните упражнение 14 из Практикума.

Еще раз о детекторах лжи

Дж. Буш должен пройти проверку на детекторе лжи. Перед процедурой, когда все готово, ему объясняют: «Задаем вопрос — Вы отвечаете. Если отвечаете честно — загорается зеленая лампочка, если обманываете — красная. Понятно?» - «Понятно», — отвечает Буш. Загорается красная лампочка.

Парадоксальная угроза

Учитель музыки говорит ученику: «Предупреждаю, если ты не будешь вести себя как следует, я скажу твоим родителям, что у тебя есть талант».

Правила русского языка в самореферентном изложении

  • (фольклор)
  • 1. Помните о том, что в большинстве случаев связку «о том» можно исключить.
  • 2. Блестните неиоверхносным чуством языка при написании непроизносимых согластных.
  • 3. Пообтершись в корридорах оффисов, в будующем мы станем сведующими и прийдём к тому, что в наших текстах будет учавствовать всё меньшее колличество лишних букв.
  • 4. Где пишутся сдвоеные согласные, а где они обосновано не сдвоенны — проблемма не колличественая, а качественная.
  • 5. Не следует пытаться не избегать двойных отрицаний.
  • 6. Коллеги обращения надо как-то выделять.
  • 7. Заканчивать предложение местоимением - дурной стиль, нс для этого оно.
  • 8. Одного восклицательного знака в конце экспрессивного предложения вполне достаточно!!!
  • 9. Числительные до 10 включительно лучше писать прописью.
  • 10. Сравнения настолько же нехороши, как и штампы.
  • 11. Сдержанность изложения - всегда абсолютно самый лучший способ подачи потрясающих идей.
  • 12. Нечаянно возникший стих собьет настрой читателей твоих.
  • 13. Ради презентативности будь креативным промоутером исконно русских синонимов на топовые позиции рейтинга преференций. Играючи, отличают знатоки деепричастный оборот от наречия, в которое он перешел.
  • 14. ВАПЗА — всемирная ассоциация против злоупотребления аббревиатурам и.
  • 15. По сообщениям института незавершенных исследований, каждые семь из десяти.
  • (Большая подборка подобных «перлов» здесь: http://gorynych-007.livejournal.com/8120.html.)

У парадокса лжеца десятки (если не сотни) разновидностей, модификаций и вариаций, некоторые из которых были созданы в Средние века, некоторые — уже в наше время. Приведем самые яркие из них — те, которые в наибольшей степени поражают воображение.

  • 1. Часто приходится сталкиваться с печальным заблуждением, когда в качестве примера изложения парадокса лжеца приводят историческое высказывание критянина Эпименида «Все критяне лжецы». На самом деле тут, конечно, никакого парадокса нет. Разумеется, Эпименид не может говорить правду, так как в этом случае все критяне были бы лжецами, и он в том числе. Получилось бы противоречие. А вот если Эпименид лжет, противоречия не получается, ибо ложность высказывания «Все критяне лгут» означает всего лишь истинность высказывания «Некоторые критяне не лгут». Иными словами, из высказывания некоего критянина «Все критяне лгут» логически следует существование критянина, который не лжет (в некотором, так сказать, физическом смысле это тоже парадоксально, как отмечают некоторые логики, но к логике формальной это отношения не имеет). Другое дело, что «парадокс Эпименида» можно превратить в парадокс лжеца, сформулировав его в таком виде: «“Все критяне лгут”, — сказал единственный критянин» (т.е. исключив, таким образом, возможность существования «второго критянина-правдолюбца»).
  • 2. Курт Гёдель предложил такую формулировку. 4 мая 1934 г. некто А произносит единственную фразу: «Любое высказывание, которое Л (т.е. — я) сделает 4 мая 1934 г., является ложным».
  • 3. Вариант парадокса лжеца с «циклом из двух высказываний»:

Сократ: То, что сейчас скажет Платон, — истина.

Платон: То, что сейчас сказал Сократ, — ложь.

Если Сократ сказал правду, то и Платон сказал правду. А Платон сказал, что Сократ солгал. Значит, Сократ солгал. Но если он солгал, то и Платон солгал, т.е. на самом деле Сократ не солгал, а сказал правду. Стало быть, и Платон сказал правду... и круг замкнулся. Этот вариант парадокса лжеца более известен под названием «парадокс с карточкой Журдена». Имеется карточка, на одной стороне которой написано: «Утверждение на оборотной стороне этой карточки ложно», а на другой: «Утверждение, написанное, на оборотной стороне этой карточки, истинно» (см. рис.). Мартин Гарднер справедливо замечает, что Журден предложил блестящий способ «наглядно» познакомить неофита с парадоксом лжеца. Достаточно несколько раз осознанно нопереворачи- вать карточку в соответствии с тем, на что указывают надписи на ее сторонах, и можно быть уверенным — придет реальное понимание сущности «парадокса бесконечного спуска».

4. Еще один вариант с диалогом Сократа и Платона:

Сократ: Дважды два — четыре.

Платон: Из нас двоих только Сократ говорит правду.

Ложно или истинно высказывание Платона? (вариант Альберта Саксонского).

5. На тех же самых мотивах основываются и следующие изящные «до казате л ьства ».

I. (Л) Ничего не существует

(В) Оба этих утверждения ложны.

Следовательно, ничего не существует. А тот, кто доказывает, что ничего не существует, существует?

II. Это утверждение ложно, и Деда Мороза не существует. Следовательно, Дед Мороз существует. (Докажите это сами.)

6. Вариант парадокса лжеца с «циклом из трех высказываний».

Имеются три высказывания:

а) по крайней мере, одно из этих трех предложений ложно;

/;) кошки существуют;

с) собаки существуют.

Рассмотрим первое высказывание. Если оно ложно, то то, что в нем говорится, правда, поэтому оно уже не может быть ложным. Поэтому оно истинно. Следовательно, то, что в нем утверждается, правда, т.е. среди этих трех высказываний есть ложное или ложные. Но поскольку само это высказывание (а) истинно, ложным может быть только или высказывание b, или высказывание с, или они оба вместе. То есть по крайней мере одного класса животных — кошек или собак — не существует! Этот вариант парадокса лжеца хорошо использовать в компаниях во время интеллектуального времяпрепровождения (например, для снятия напряжения «не отходя от темы») — достаточно заменить в нашем примере «кошки» и «собаки» на имена двух членов этой компании, а уж они пусть потом разбираются сами, кого именно из них не существует!

7. Древняя притча[7]. Злой крокодил украл у матери, пришедшей на берег реки постирать белье, маленького ребенка и собрался съесть его. Мать взмолилась, прося крокодила вернуть ей ребенка. Хитрый крокодил отвечал: «Хорошо, я верну тебе ребенка. Но только в том случае, если ты угадаешь, верну ли я тебе его или нет».

Мать немного подумала и ответила: «Ты не вернешь мне ребенка. Этой мой ответ. А теперь ты должен вернуть мне ребенка в любом случае. Ибо если бы ты собрался оставить его у себя, это означало бы, что ты мне его не возвращаешь, стало быть, я угадала, заявив об этом, и ты должен вернуть мне ребенка в соответствии с твоим же условием. А если ты не можешь оставить его у себя, значит, ты возвращаешь его мне. Вот и весь сказ!» (Мать могла сказать и так: «Я либо угадала, либо не угадала. Если я угадана, ты вернешь мне ребенка по уговору, а если я не угадала, ты все равно мне его вернешь, иначе будет неверно, что я не угадала».) Крокодил оторопел, но быстро пришел в себя: «Постой! Если я верну тебе ребенка, это будет означать, что ты не угадала, поэтому я не должен тебе его возвращать по уговору! А если ты угадала, то я не должен возвращать тебе его именно потому, что в противном случае будет неверно, что ты угадала! М-да, как-то тут странно все выходит, получается, что я должен вернуть тебе ребенка в том и только в том случае, когда не должен этого делать...» Мать не стала помогать крокодилу в его логических раздумьях — выхватила у него ребенка и была такова!

Логика как средство борьбы с произволом власти

Баснописец Эзоп был рабом. Как-то хозяин послал его на рынок, а навстречу ему попался градоправитель.

  • — Ты куда, Эзоп? — спросил градоправитель.
  • — Не знаю, — признался баснописец.
  • — Издеваешься! Взять его и отвести в тюрьму! — приказал градоправитель своим воинам.
  • — Вот видишь! — возмутился в свою очередь Эзоп, — разве я мог знать, что попаду в темницу?

URL: http://www.orator.ru/ rass36.html

  • — Скажите, что вы думаете о нашем президенте?
  • — Да я его трезвым ни разу не видел.
  • — Что, он гак много пьет?
  • — Почему он, я!
  • * * *

Проигравший картежник отказывается платить.

«Почему?» — угрожающе спрашивает его партнер. — «Один из нас жульничал, игра была нечестной, ее результаты должны быть аннулированы!» — «И кто же жульничая?» — «Я!»

* * *

Одна кинозвезда — другой:

  • — Опять развожусь!
  • — Почему?
  • — Не могу быть женой рогоносца!

Я вам наработаю! К., 1994. С. 247.

8. Великий популяризатор логики Рэймонд Смаллиан1 (признанный корифей в области исследований парадокса лжеца) в своем научно-фантастическом рассказе «Кошмар эпистемолога» предлагает такой сюжет. Некий ученый изобретает машину, которая, сканируя ощущения и мысли «подопытного» человека, определяет, что же «на самом деле» он чувствует, переживает, что ему на самом деле кажется, в чем он убежден и т.д., а в чем он (относительно себя) обманывается. Проходит некоторое время, и у ученого возникает подозрение, что он сходит с ума (так, он уже опасается говорить о своих ощущениях, не проконсультировавшись с машиной). Разумеется, он обращается за помощью к машине с вопросом, что ему стоит предпринять. Та отвечает, что для восстановления психического здоровья (которое и вправду несколько подорвано) ученому стоит просто-напросто перестать ей доверять. Вот и возникает парадокс: «Если машина надежна, я должен перестать ей доверять.

Но если я перестану ей доверять, мне придется усомниться и в ее совете ей не доверять»[8] [9].

Выполните упражнения 15—16 из Практикума.

Один поэт-юморист (А. Д. Ищенко) написал целую поэму на сюжет «Спор Протагора и Эватла (см. уир. 16) — правда, для пущей рифмы ему пришлось переименовать Эватла в Эвалта:

Известный мудрец Эвбулид из Милета считал, что познание белого света не даст никогда нам правдивый ответ.

Дороги к познанию истины — нет.

И все, что мы видим, — ничтожно и ложно.

А все, что мы знаем, — понять невозможно.

Из древних своих схоластических сфер для нас он любезно оставил пример.

Эвалт обучался (в связи с договором) искусству софистики у Протагора.

Науку он «грыз», проявлял интерес, чтоб выиграть первый судебный процесс.

Тогда уж, Эвалт обещал Протагору, заплатит он полностью, по договору.

Но, кончив учебу, Эвалт наотрез вникать отказался в судебный процесс!

Возможно, увлекся другими делами, а может, жалел расставаться с деньгами...

Но, так как решил никогда не судить, то понял, что вовсе не должен платить!

Учитель, услышав такое решенье, сказал, что он в суд подает заявленье — пусть судьи решат затянувшийся спор.

И тут же напомнил ему договор.

— Ты, споря, Эвалт, просто время зря тратишь. Ты мне все равно за учебу заплатишь. Неважно, каким будет мненье суда,

от выплаты ты не уйдешь никуда.

Присудят платить — значит по приговору, а вдруг не присудят — то по договору.

Ну, как? “Я, надеюсь, тебе доказал”, — ему, усмехнувшись, Учитель сказал.

  • — Нисколько! — ответил Эвалт Протагору.
  • — У вас доказательство — просто умора!

Не стоило даже софизм городить.

Ведь мне все равно не придется платить.

Во-первых, надеюсь, платить не присудят, Уверен, суды наши праведно судят.

А если присудят — опять без чудес: ведь я проиграю свой первый процесс!

Попробуйте вы возразить Эвбулиду.

Но не наносите софисту обиду.

Ведь хоть проживал он в глухие века, вы не повстречаете в нем простака.

Мы многое знаем (газеты читаем!).

И все же скажите, наш мир познаваем?

Ответьте, но честно, как совесть велит, неправ или прав был мудрец Эвбулид?

  • — Если ты мне еще раз возразишь, я тебя поцелую.
  • - Нет, не поцелуешь!

«Экзистенциальный вариант» парадокса лжеца можно отыскать не только у Сервантеса. Как известно, тогда, когда Пиноккио лгал, его нос удлинялся (и только в этом случае). А что произошло бы, если б Пиноккио сказал: «Мой нос сейчас вырастет?»

Но, без сомнения, «самый-самый» (с точки зрения «пропаганды» логики) вариант парадокса лжеца принадлежит великому популяризатору науки XX в. Мартину Гарднеру (эссе «Мистер Аполлинакс в Нью- Йорке»). Он представил старинный сюжет в «игровом» (и тем самым гораздо более наглядном) виде как «парадокс невозможности верного предсказания». А мы сформулируем его в виде задачи (см. упр. 17).

Выполните упражнения 17—23 из Практикума.

  • 1. Парадокс Греллипга — Нельсона, или парадокс гетерологичиости
  • (1908)

Прилагательные, как известно, обозначают свойства. Некоторые из прилагательных сами (как объекты рассмотрения) обладают свойством, на которое указывают. Например, слово «русский» само русское, слово «многосложный» многосложное, а «понятный», в общем, понятное. Назовем такие прилагательные антологическими. Тогда гетерологическими будут те прилагательные, которые не обладают свойством, которое описывают (на которое указывают). Например, слово «французский» само не французское, слово «односложный» не односложное, слово «тяжелый» не тяжелое, а «совиный» не совиное.

Рассмотрим теперь прилагательное «гетерологический». Оно описывает некое свойство X, а именно: свойство прилагательных не обладать «собственным» свойством. Разумно утверждать, что само это прилагательное может либо обладать этим свойством X, либо не обладать (как и любым другим), т.е. оно тоже является либо автологическим, либо гетерологическим. Если прилагательное «гетерологический» автологическое, то оно обладает свойством, которое описывает, т.е. является гетерологическим. Если же оно гетерологическое, то оно не обладает «собственным свойством» и потому автологическое, т.е. оно автологическое тогда и только тогда, когда гетерологическое. Оно обладает неким конкретным свойством (X) тогда и только тогда, когда не обладает им! Вот ведь парадокс (рис. 2.4)!

Парадокс Греллинга — Нельсона

Рис. 2.4. Парадокс Греллинга — Нельсона

2. Парадокс Берри (1906, упрощенная версия парадокса Ришара) Натуральные числа можно обозначать с помощью выражений естественного языка. Например, число 121 можно однозначным образом обозначить (определить) с помощью выражений «квадрат одиннадцати», «сумма восьмидесяти и сорока одного», «сто двадцать один» и т.д. Выражения естественного языка можно алфавитно упорядочить и пронумеровать. Существует алгоритм, который позволяет каждому выражению русского (в данном случае) языка сопоставить некоторое натуральное число, причем разным выражениям будут сопоставляться разные числа. Поскольку число букв в алфавите конечно, то конечно и число выражений, состоящих из п слов (например, девятнадцати). Стало быть, с помощью этих выражений можно описать (определить) только конечное количество чисел. Среди тех чисел, для обозначения (определения) которых неизбежно потребуется больше девятнадцати слов (20 и более), заведомо есть наименьшее (как число 122, судя по всему, наименьшее, для записи которого в естественном языке уже недостаточно двух слов, а требуется третье). А теперь построим такое выражение естественного языка: «Наименьшее натуральное число, которое нельзя определить выражением, состоящим менее чем из двадцати слов». Но данное выражение содержит всего 13 слов и отлично определяет это число (назовем его числом k) Вот ведь парадокс (рис. 2.5)...

Парадокс Берри

Рис. 25. Парадокс Берри

3. Парадокс Ришара (1905)

Некоторые из выражений естественного языка описывают одноместные арифметические функции (скажем, х + 5, л[х> Зх, х2 и т.д.) — в стиле «Функция, значение которой на 5 больше значения аргумента», «Извлечение арифметического квадратного корня из х», «Умножение числа х на три». Как мы уже знаем, выражения естественного языка могут быть упорядочены по алфавиту и пересчитаны. Отберем все такие выражения, которые определяют одноместные арифметические функции, и пронумеруем их в соответствии с алфавитным порядком: 1, 2, 3... п, п + 1... Будем обозначать некую одноместную арифметическую функцию / как /„, если она при пересчете получила номер п. А теперь образуем такое описание одноместной арифметической функции: «Функция, значение которой для аргумента п равно значению функции /„ от этого аргумента плюс один» (сама функция: /(/г) = =/„(гг) + 1, называемая диагональной функций Кантора). Но это выражение тоже получит при пересчете свой номер (скажем, номер т). Стало быть, оно определяет функцию /,„. И мы тогда имеем — для аргумента т — потрясающее равенство (fm (т) = fm(m) +1). Получается, что для аргумента т значение функции отличается от себя самого! И в то же время эта функция отличается и от всех других — от f] она отличается, как минимум, значением от аргумента 1, от /2 — значением от аргумента 2 и т.д. Вот ведь парадокс...

Георг Кантор (1845-1918)

С помощью похожего рассуждения (не привлекая явление «определимости в языке»), известного в логике и математике как «диагональный метод», великий математик Г. Кантор доказал (от противного) тот факт, что множество одноместных арифметических функций (и десятичных дробей, т.е. действительных чисел, кстати) просто-напросто нельзя упорядочить таким образом, чтобы их можно было пересчитать. Простое определение функции / (гг) = /„ (гг) + 1 (при допущении, что их можно пересчитать) наглядно демонстрирует функцию, заведомо не попадающую в пересчет (при допущении, что пересчет возможен)! Но даже канторовское до [10] [11]

число (количество) элементов множества (дело в том, что понятие числа само часто определяется через понятие «мощность»). Говорят, что два множества имеют одинаковую мощность, если их можно поставить в так называемое одно-однозначное (или взаимно-однозначное) соответствие друг с другом: каждому элементу одного множества сопоставить ровно один элемент другого. Представим себе картину, как на лугу пасутся 5 коров и растут 5 берез. Математик скажет, что мощности множества коров и множества берез равны, так как можно к каждой березе привязать по одной корове и не останется коров, не привязанных ни к одной березе. А вот если коров будет 6, то привязать их указанным образом никак не удастся, у нас все время будет оставаться лишняя корова. Тогда наш математик скажет, что мощность множества коров больше мощности множества берез. Понятие мощности, как выяснили математики, вполне можно распространить и на бесконечные множества, гак сказать, «численно измерить бесконечность». Правда, числа эти, обозначающие количество элементов бесконечных множеств, особые, так называемые трапсфипитпые, изучаемые в специальном разделе математики.

Очевидно, что по любому множеству можно образовать новое множество, а именно множество всех его подмножеств. Множество А называется подмножеством множества В, если и только если каждый элемент А принадлежит и В. Например, подмножеством множества коров является класс черных коров, подмножеством множества действительных чисел — класс целых чисел, подмножеством множества птиц — класс сов, подмножеством множества геометрических фигур — класс треугольников и т.д.

Рассмотрим двухэлементное множество X (с элементами А и В). Обозначим как X* множество всех подмножеств X. Если X = {А, В}, тогда Х*= [12], т.е.

X = [13]}}, т.е.

X = [14] [15]. Ведь даже сама идея, что бесконечности могут быть разными, кажется в высшей степени необычной, не так ли? А те бесконечности, которые здравый смысл хочет считать разными, оказываются одинаковыми...

Зададимся, казалось бы, тривиальными вопросами: каких чисел «больше» — целых положительных или целых положительных нечетных? Целых или натуральных? Рациональных или целых? Ответ удивителен — их поровну! (Разумеется, в указанном смысле терминов «больше» и «мощность».) А удивителен он потому, что кажется совершенно очевидным: если А — собственное подмножество В (т.е. что кроме элементов множества А во множество В входят еще и другие элементы), то мощность В заведомо должна быть больше мощности А. Но это справедливо не для всех множеств. Для конечных — безусловно. А вот с бесконечными все сложнее. В целом ряде случаев множества Aw В имеют одинаковую мощность, несмотря на то что А с В (хотя это, конечно, не всегда так).

Докажем это утверждение.

Из этой таблицы видно, как легко установить взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел (N) и множеством четных натуральных чисел (Дг2, причем N2 с N). Следовательно, с точки зрения концепта «мощность» их поровну, хотя кроме бесконечного числа четных чисел имеется и бесконечное же количество нечетных. Но сумма этих двух бесконечностей «равна» каждому из «слагаемых»!

А из этой таблички становится понятно, что всех целых чисел (Z) ничуть не больше, чем только натуральных (N, притом что N с Z). Иными словами, если к натуральным числам «прибавить» ноль и все отрицательные целые числа, «количество материала» совершенно не изменится!

Существует и аналогичный метод, который позволяет «пересчитать» подобным образом и все дробные числа. То есть мощность множества рациональных чисел (D) совпадает с мощностью множества натуральных чисел N и целых чисел Z (хотя Nc Z, a Zc Л) — прибавка отрицательных и дробных чисел не «увеличивает» общего количества чисел.

Пол Коэн (1934-2007)

Множества, которые можно поставить во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел, по понятным причинам называют счетными множествами. Их мощность считается равной трансфинитному числу алеф-пулъ К0 (первая буква древнееврейского алфавита). Из теоремы Кантора следует, что множество всех подмножеств множества с мощностью алеф-нуль будет иметь большую мощность, а именно мощность 2*4 Кантору удалось показать, что именно такую мощность имеет множество всех действительных чисел R (которое получается при добавлении к рациональным числам чисел иррациональных) или множество точек на прямой. Кантор обозначил такую мощность с (от «континуум») и назвал мощностью континуума. И перед ним, и перед всеми логиками и математиками мира встал вопрос: существует ли какое-нибудь множество, мощность которого будет больше, чем К0, но меньше, чем с = 2 ко? Кантор предположил, что такого множества нет, и поэтому приравнял с (и 2*4 разумеется) кХ|. Данное допущение принято называть гипотезой континуума (в обобщенном виде она выглядит так: 2**>» = Хи+1). Другой (эквивалентный) вариант формулировки гипотезы континуума: «Любое бесконечное подмножество континуума является либо счетным, либо континуальным». Кантор и другие математики были убеждены, что рано или поздно удастся либо доказать гипотезу континуума (известную также как «первая проблема Гильберта»), либо опровергнуть ее, найдя соответствующее множество. Однако в середине века было показано (объединением результатов 1940 г.

К. Гёделя и 1963 г. П. Коэна), что решить вопрос с гипотезой континуума в рамках стандартной теории множеств невозможно — эта гипотеза просто-напросто неразрешима в рамках этой теории (ни она, ни ее отрицание недоказуемы). Иными словами, не будет никакого противоречия в том, если мы примем отрицание гипотезы континуума и предположим существование множеств с «промежуточной мощностью» Т (N0 < Т< с). Не будет противоречия и в противоположном случае — если мы примем гипотезу континуума. Ныне существуют различные варианты теории множеств — как принимающие, так и отвергающие гипотезу континуума. Первые из них называются по понятным причинам канторовскими (2х" = Nw+1). Таким образом, множество всех действительных чисел имеет мощность, равную Nt, множество всех его подмножеств — мощность К2 и т.д. Встает логичный вопрос: а какие реальные множества (т.е. состоящие из каких-то конкретных известных математикам объектов, а не просто являющиеся «множествами всех подмножеств исходных») имеют мощности X2» к3 и Т-Д-? На сегодняшний момент получен ответ только относительно трансфинитного числа К2 (2Xf) такую мощность имеет множество всех одноместных арифметических функций. Пока математикам не удалось обнаружить никакого конкретного множества, мощность которого была бы равна трансфинитному числу алеф-три. Как метко выразился Мартин Гарднер, «мы оказываемся в положении дикаря, у которого множество детей, но который умеет считать только до трех» (алеф-нуль, алеф- один и алеф-два).

Литературные аллюзии

В одной из своих работ по логике Бертран Рассел пишет примерно следующее: «В романе Л. Стерна “Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена” герой обнаруживает, что ему потребовался целый год, чтобы изложить события первого дня его жизни, и еще один год понадобился, чтобы описать второй день. В связи с этим Шенди сетует, что материал его биографии будет накапливаться быстрее, чем он сможет его обработать, и он никогда не сможет ее завершить. Я утверждаю, что если бы он жил вечно и его работа не стала бы ему в тягость, даже если бы его жизнь продолжала быть столь же богатой событиями, как вначале, то ни одна из частей его биографии не осталась бы ненаписанной. Действительно, события n-го дня Шенди мог бы описать за п-й год и, таким образом, в его автобиографии каждый день оказался бы запечатленным. Так что, если бы жизнь длилась бесконечно, то она насчитывала бы столько же лет, сколько дней».

URL: http://unfriend.ru/ccfl6973867a59f8.html

И приведем здесь весьма примечательное мнение уже знакомого нам великого Р. Смаллиана, по всеобщему признанию тех, кто имел счастье работать вместе с ним, педагогу от Бога: «Почему такой захватывающий предмет — математическое учение о бесконечности — так мало известен широкой публике? Почему он не преподается в средних школах? Ведь для понимания он ничуть не более труден, чем алгебра или геометрия, но зато насколько полезен!»

2. Парадокс Рассела — парадокс множества всех нормальных множеств.

Бертран Рассел (1872-1970)

Кажется совершенно очевидным, что по любому (непротиворечивому) свойству можно образовать множество тех и только тех объектов, которые обладают этим свойством. Например, по свойству «быть рыжей коровой» можно образовать множество всех рыжих коров, по свойству «быть треугольником» — множество треугольников, по свойству «быть человеческим пороком» — множество человеческих пороков, по свойству «быть множеством летающих животных» — множество множеств летающих животных и т.д. Более того, в исходном варианте теории множеств (так называемой наивной теории множеств) была даже специальная аксиома — аксиома свертывания: «Для всякого свойства Р и объекта х существует множество А такое, что х есть элемент А тогда и только тогда, когда х есть Р».

Однако, как выяснилось, это далеко не так. И выяснил это в 1902 г. великий логик, математик, а впоследствии и общественно-политический деятель и литератор (лауреат Нобелевской премии по литературе) Бертран Рассел. Его рассуждение (в строгих рамках самой теории множеств) было чрезвычайно просто и изящно.

Разделим все множества на нормальные и ненормальные. Назовем множество нормальным, если оно не включает себя самого в качестве своего элемента. Таково подавляющее большинство множеств. Множество всех коров само не корова, поэтому оно нормальное, множество всех четных чисел само не четное число, поэтому оно нормальное, множество всех двухэлементных множеств само не двухэлементное, поэтому нормальное. Тогда ненормальными будут такие множества, которые содержат себя в качестве своих собственных элементов. Конечно, это весьма экзотические объекты. Таковы, например, канторовское множество всех множеств, множество всех множеств с числом элементов более одного и др. Содержательной аналогией ненормального множества может служить каталог всех каталогов данной библиотеки — поскольку он сам каталог в этой же библиотеке и каталог всех ее каталогов, он с необходимостью должен включать в себя упоминание о себе самом.

Можно, конечно, сказать, что ненормальные множества — конструкции искусственные. Но это не меняет дела, потому что парадокс Рассела связан как раз с множествами нормальными! По свойству «быть нормальным множеством» (а свойство это вполне объективно — нормальных множеств пруд пруди) образуем множество — множество всех нормальных множеств. Зададимся вопросом — оно само нормальное или ненормальное?

Если оно нормальное, то не включает себя в качестве своего собственного элемента (по определению нормального множества), но одновременно включает себя (так как включает все нормальные множества). Если же оно ненормальное, то оно включает себя в качестве своего собственного элемента (по определению ненормального множества), но одновременно и не включает себя — ведь оно множество только нормальных множеств! Иными словами, множество всех нормальных множеств включает себя в том и только в том случае, когда не включает себя! Парадокс налицо.

Крупный логик X. Карри предложил такую формализацию парадокса Рассела. Пусть М — множество всех нормальных множеств. Тогда для любого множества х справедливо:

хе М = х? х (знак = означает «тогда и только тогда, когда»). Подставим вместо х само М (ведь оно тоже множество!):

Me М = Ме М.

«Парадокс Рассела относился к самым началам теории множеств и показывал, что в основаниях этой дисциплины что-то неблагополучно, более того, антиномия Б. Рассела потрясла основы не только теории множеств: высказывались мнения, что в опасности находится и сама формальная логика (некоторые математики считали, что теория множеств — существенная часть логики)» (Л. Ивин). Философскую (мировоззренческую) подоплеку парадокса Рассела трудно переоценить. Он поднимает самые глубокие вопросы, связанные с природой нашего разума, его возможностями и границами, с сущностью абстрагирующей деятельности и г.д. Возникновение парадокса говорит, что с абстрактными объектами (сущностями) нельзя обращаться так же, как с обычными, не-абстрактными. Выясняется, что приходится отказываться от некоторых теоретико-познавательных очевидностей, например, что не по любому объективному свойству можно образовать множество соответствующих предметов. Ведь это действительно загадочно: объекты есть, а вот собрать их непротиворечивым образом в один класс нельзя! Нельзя, и все тут! Появление парадоксальных «монстров» типа множества всех нормальных множеств говорит о необходимости осторожно обращаться с продуктами деятельности «вольного разума», об ограниченности возможностей абстрактного мышления. И встает вполне закономерный вопрос — ключевой вопрос для человеческого разума в его попытках определить место человека в бытии — «Почему?».

Парадоксальная

максима

Я не хочу быть членом клуба, который примет меня в свои члены.

Гручо Маркс

Сам Рассел попытался популяризовать свой парадокс с помощью уже знакомого нам из гл. 1 «парадокса брадобрея». Селяне, которые не бреются сами, — аналог нормальных множеств, брадобрей — аналог множества всех нормальных множеств. Противоречивость договора с брадобреем — аналогия внутренней противоречивости аксиоматической теории множеств.

Аналогичен примеру с брадобреем и расселовский же вариант с мэрами и муниципалитетами. Каждый мэр обязуется жить вне пределов своего муниципалитета, и все мэры обязаны жить в одном муниципалитете. Где должен жить мэр этого «муниципалитета мэров»?

А. Ивин предлагает такой изящный вариант парадокса Рассела — парадокс «суперигры». «Назовем игру нормальной, если она заканчивается в конечное число ходов. Примерами нормальных игр могут служить шахматы, шашки, домино, крестики-нолики: эти игры всегда завершаются или победой одной из сторон, или ничьей. Игра, не являющаяся нормальной, продолжается бесконечно, не приводя ни к какому результату. Введем также понятие “Суперигра”. Первым ходом такой игры является установление того, какая именно игра должна играться. Если, к примеру, вы и я намереваемся играть в Суперигру и мне принадлежит первый ход, я могу сказать: “Давайте играть в шахматы”. Тогда вы в ответ делаете первый ход шахматной игры, допустим, е2— е4, и мы продолжаем партию до ее завершения (в частности, в связи с истечением времени, отведенного регламентом). В качестве своего первого хода я могу предложить сыграть в крестики-нолики и т.п. Но игра, которая мною выбирается, должна быть нормальной; нельзя выбирать игру, не являющуюся нормальной. Возникает проблема: является ли сама Суперигра нормальной или нет? Предположим, что это — нормальная игра. Так как первым ее ходом можно выбрать любую из нормальных игр, я могу сказать: “Давайте играть в Суперигру”. После этого Суперигра началась, и следующий ход в ней ваш. Вы вправе сказать: “Давайте играть в Суперигру”. Я могу повторить: “Давайте играть в Суперигру”, и таким образом процесс может продолжаться бесконечно. Следовательно, Суперигра не относится к нормальным играм. Но в силу того что Суперигра не является нормальной, своим первым ходом в ней я не могу предложить саму эту Суперигру, я должен выбрать нормальную игру. Но выбор нормальной игры, имеющей конец, противоречит тому доказанному факту, что Суперигра не принадлежит к нормальным. Итак, является ли Суперигра нормальной игрой или нет? Ведь выходит, что она является одновременно и нормальной, и ненормальной?!

Понятие ненормальной игры, не завершающейся в любое конечное число шагов (т.е. не завершающейся никогда), непривычно. Но если игру понимать широко, то нужно признать, что ненормальные игры существуют (к ним относится, в частности, систематическое перечисление всех натуральных чисел, печать десятичного разложения числа “пи” и т.д. — К. М.). Всякий парадокс, предполагающий “бесконечный спуск”, является примером ненормальной игры»1.

Отметим, что самоприменимость не всегда приводит к парадоксам. Есть парадокс лжеца, но ног парадокса правдолюбца (высказывание «Это высказывание истинно» не приводит ни к каким парадоксам). Здесь интересно еще и вот что: парадоксы появляются только тогда, когда мы используем «отрицательные» понятия и предикаты («ложно», «не может быть определено», «не принадлежит», «не обладает свойством» и т.д.). Интересно, что стоит за этой примечательной закономерностью? И не является ли стремление объяснить сущность парадоксов само парадоксальным?

Выполните упражнения 24—25 из Практикума.

Урок истории

Знаменитый философ Гегель любил подчеркивать следующий факт: «Величайший урок истории заключается в том, что никто, никогда и ничему не научился из истории». Не является ли это убеждение внутренне противоречивым? Ведь само оно вытекает из истории в качестве одного из ее уроков. Не лучше ли сторонникам этой идеи сформулировать ее так, чтобы она не распространялась на себя: «История учит единственному — из нее ничему нельзя научиться» или «История ничему не учит, кроме этого ее урока». Или, быть может, надо наоборот, усилить утверждение: «История никого ничему не учит, в том числе и тому, что она никого ничему не учит». Ведь если бы люди по-настоящему осознали, что они ничему не учатся из истории (т.е. извлекли бы из нее хотя этот урок), они бы наверняка начали извлекать из нес и другие уроки! (А. Ивин и К. М.)

Нашелся

Уникальный урок

Судят создателя финансовой пи-

Урок в школе ками-

рамиды:

кадзе.

— Как вы могли обманывать людей,

Инструктор: «Так,

которые вам верили?!

товарищи, смотрите

— А как бы я стал обманывать лю-

внимателыю, показы-

дей, которые мне не верили?!

ваю один раз...»

1 Ивин А. А. Логика для журналистов: URL: http://evartist.narocl.ru/text8/48.html.

  • [1] Схемы парадоксов нижеследующего вида принадлежат В. В. Горбатову.
  • [2] Тот самый, который утверждал, что все события являются необходимыми (есликакая-то возможность не реализовалась, значит, она не была подлинной возможностью). —Примем, авт.
  • [3] Ивин А. А. Логика. URL: http://oko-planct.su/scicnce/scienccdiscussions/52301-logicheskie-paradoksy.html.
  • [4] Там же.
  • [5] Красивейший парадокс (рушащий все наши представления о «здравом математическомсмысле») представляет собой также знаменитая теорема Гудстейна, играющая роль «предложения Гёделя» для всем нам хорошо известной процедуры математической индукции (этопоказали математики Кирби и Парис). Если мы «верим» в математическую индукцию, считаем выводы, полученные с ее помощью, достоверными, мы должны верить и в справедливость теоремы Гудстейна, хотя доказать ее с помощью одной только индукции невозможно.
  • [6] О самой теореме Гудстейна см. статью в «Википедии».
  • [7] Из книги Л. Л. Ивина «Искусство правильно мыслить», художник Т. В. Баренцева.
  • [8] О «великом и ужасном матемаге» Р. Смаллиане подробнее см. здесь: URL: http://www.logic-books.info/node/11. Весьма интересная и примечательная биография!
  • [9] У этой истории было продолжение (в некотором роде его можно считать развитиемданного парадокса). Ознакомиться с ним наши читатели смогут, обратившись к текстусамого рассказа Р. Смаллиана (URL: http://www.logic-books.info/node/314).
  • [10] казательство не упраздняет значимости парадоксаРишара — ведь он связан не со счетностью или несчетностью множествасамих одноместных арифметических функций, а с заведомой счетностьюязыковых выражений, с помощью которых такие функции вроде бы (?) эффективно определяются. Это различие всегда полезно помнить. 2.4.3. Синтаксические (логические) парадоксы Самыми известными из синтаксических парадоксов являются парадоксы Кантора и особенно — Рассела. (Есть еще так называемый парадоксБурали-Форти, идейно близкий парадоксу Кантора.)
  • [11] Парадокс Кантора — парадокс максимального множества. Прежде чем сформулировать сам парадокс, рассмотрим несколько важных определений и теорем. В формальной теории множеств с каждыммножеством связана особая характеристика, называемая мощностью множества. Более-менее наглядным образом она может быть представлена как
  • [12] А}, {5}, {А, В}, 0}, так как {А} с {А, 5}, {В} с {А, В}, {А, В} с {А, В}, 0 с {А, В}. (Считается, что пустое множество является подмножеством любого.) Если Х = {А, В, С}, тогда X* = {{А}, {В}, {С}, {А, В}, {А, С}, {В, Q, {А, В, С}, 0}. Нетрудно видеть, что число элементов множества X* (его «мощность») равно два в степени число элементов самого X. Это будет так и в том интересном случае, если X — пустое множество! Здесь X* = {0}, т.е. одноэлементное множество! (2° =1). Нельзя путать пустое множество (не содержащее элементов) и множество, содержащее пустое множество в качестве единственного элемента (элементами множеств могут быть, в свою очередь, множества)!

    Таким образом, мощность X* (в случае, когда X — конечное множество) всегда больше, чем мощность X, и равна

    где М (X) — мощность X, М (X*) — мощность X*.

    Оказалось, что данное утверждение справедливо и для бесконечных множеств! Покажем вслед за Г. Кантором, что множество всех подмножеств бесконечного множества содержит «больше» элементов, чем это исходное бесконечное множество! Это доказательство по праву считается одним из самых красивых и изящных во всей математике и логике. Используется метод рассуждения от противного.

    1. Пусть все бесконечные множества имеют одинаковую мощность, т.е. их можно поставить в одно-одно- значное соответствие с множеством всех их подмножеств.

    Георг Кантор (1845-1918)

    • 2. Назовем элемент исходного бесконечного множества X зеленым, если он входит в то подмножество, которое поставлено ему в соответствие, и красным, если не входит.
    • 3. Рассмотрим подмножество X, состоящее исключительно из всех красных элементов.

    Оно не может быть поставлено в соответствие ни зеленому элементу, ни красному. Если оно поставлено в соответствие зеленому элементу, то этот элемент

    (по определению) должен в него входить, а в него входят только красные. Если же оно поставлено в соответствие красному элементу, т.е. одному из своих собственных, то он уже не может быть красным (красные по определению не входят в то подмножество, с которым ассоциированы).

    Теперь сформулируем сам парадокс Кантора. Если X — множество всех множеств, «максимальное множество», то его мощность наибольшая и не может быть меньше мощности никакого другого множества, даже множества все своих подмножеств, потому что и его тоже оно (это самое X) содержит в себе в качестве своей собственной части (наряду с другими), ведь оно множество всех множеств.

    Получается противоречие:

    М(Х) <М(Х*) — по теореме Кантора;

    М (X) ^ М (X*) - так как X — максимальное множество.

    Этот в высшей степени изящный парадокс и называется парадоксом Кантора. Он демонстрирует внутреннюю противоречивость такого вроде бы естественного с точки зрения математики образования, как множество всех множеств.

    Мотив парадокса Кантора математики используют при указании на парадоксальность, возникающую при построении множества всех одноэлементных множеств. В него (назовем его множеством X) войдут такие множества, как множество всех четных простых чисел, множество российских императоров, правивших в XX в., множество граждан СССР, удостоенных пяти золотых звезд Героя Советского Союза и Героя Социалистического Труда, множество стран, команды которых принимали участие в финальных турнирах всех чемпионатов мира по футболу, и многие другие. И в него обязательно должно войти множество, единственным элементом которого является сам X:

    X = {{2}, {Николай И}, {Л. Брежнев}, {Бразилия}... {X

  • [13] 2}, {Николай II}, {Л. Брежнев}, {Бразилия}... {{{2}, {Николай II}, {Л. Брежнев}, {Бразилия}... {X
  • [14] 2}, {Николай И}, {Л. Брежнев}, {Бразилия}... {{{2}, {Николай II}, {Л. Брежнев}, {Бразилия}... {{{2}, {Николай II}, {Л. Брежнев}, {Бразилия}...

    дет» и так до бесконечности! Выходит, что целое в определенном смысле является своей собственной частью!1

    Ив теоремы Кантора следует, что бесконечности (бесконечные множества) сами образуют бесконечную иерархию по «количеству входящих в них элементов» (у множества всех подмножеств данного бесконечного множества тоже будет свое «множество всех его подмножеств», превосходящее его по мощности, и т.д.). Мы получаем «бесконечности разного ранга». Называется эта бесконечная последовательность бесконечностей иерархией алефов. Расскажем о ней подробнее{{ Примерно по такой логике структурно выстроена философская система Гегеля.

  • [15] Лучше всех в популярной форме это сделал «великий и ужасный» Мартин Гарднер(см. его увлекательный рассказ «Гостиница “Бесконечность”» здесь: URL: http://nkozlov.ru/library/other/s364/d3200/?resultpage=2&full_comments=l#.WRxyZ9wlG0g).
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >