Пути преодоления «классических» парадоксов

«В логике и математике статус парадоксов как глубоких и кардинальных проблем не подвергается сомнению. Предлагаются сотни разнообразных их решений, но никаких общепринятых способов объяснения и устранения парадоксов пока не найдено. До сих пор до конца не ясно, например, какие проблемы скрываются за старым как мир парадоксом лжеца. Поэтому не может быть и твердых рекомендаций по избавлению от него. Очевидно, однако, что парадоксы типа “лжеца” не должны пониматься как локальные, изолированные препятствия, устранимые одним, особо изобретательным, движением мысли»1.

Уже в Средние века были намечены три возможных пути решения семантических парадоксов (излагается по А. А. Ивину, А. О. Маковельскому и П. С. Попову — Н. И. Стяжкину).

Уильям Оккам (1285-1349)

  • 1. «Отбрасывание» (cassatio). Согласно этому подходу, инсолюбилия («неразрешимое предложение») вообще не является предложением, поэтому к ней неприложимы категории «истинно» или «ложно», она суть простая бессмыслица (ранний П. Николетта).
  • 2. «Ограничение» (restrictio). Это подход У. Оккама. Не разрешается употреблять такие языковые конструкции, когда, например, данное предложение непосредственно апеллирует к собственной ложности (недоказуемости). Вообще сама идея, что высказывания, говорящие о своей собственной истинности или ложности, не являются осмысленными, гораздо старше. Ее отстаивал еще древнегреческий логик Хри- сипп из Сол (281—208 до н.э.), философ-стоик, ученик Зенона из Китиона, посвятивший анализу парадокса лжеца три книги. По Оккаму, утверждение «Всякое высказывание ложно» бессмысленно, так как оно говорит и о своей собственной ложности. Из этого утверждения прямо следует противоречие. Если всякие высказывание ложно, то и само это высказывание ложно, т.е. не всякое высказывание ложно. Аналогично и с утверждением «Всякое высказывание истинно». Оно также должно быть отнесено к бессмысленным и также ведет к противоречию: если каждое высказывание истинно, то истинным является и отрицание самого этого высказывания, т.е. высказывание, что не всякое высказывание истинно. Однако выше мы видели, что для получения антиномии ссылка предложения на себя не обязательна, и наоборот, не всегда ссылка на себя приводит к антиномии. На это указывал уже Ж. Буридан[1] [2]. Кроме того, что мешает объявить высказывание «Всякое высказывание ложно» ложным, из чего будет следовать — уже безо всякого противоречия — лишь то, что существуют истинные высказывания?!
  • 3. «Решение» (solutio). Это подход Буридана, Стефана из Монте и позднего Паоло Николетты. По Буридану, «с точки зрения обычных представлений о бессмысленности выражения типа «Я лгу», «Всякое высказывание истинно (ложно)» и т.п. вполне осмысленны. О чем можно подумать, о том можно высказаться — гаков общий принцип Буридана. Человек может думать об истинности утверждения, которое он произносит, значит, он может и высказаться об этом. Не все утверждения, говорящие о самих себе, относятся к бессмысленным (например, «Это предложение состоит из пяти слов»). Если допускается, что утверждение может говорить и о самом себе, то почему оно не способно со смыслом говорить и о таком своем свойстве, как истинность (ложность)? Сам Ж. Буридан считал высказывание «Я лгу» ложным и обосновывал свою позицию так. Когда человек утверждает какое-то предложение, он утверждает тем самым, что оно истинно. Если же предложение говорит о себе, что оно само является ложным, то оно представляет собой только сокращенную формулировку более сложного выражения, утверждающего одновременно и свою истинность, и свою ложность. Эго выражение противоречиво и, следовательно, ложно. Но оно никак не бессмысленно»1 (как бессмысленные предложения типа «Моя тяжелая зеленая мысль, которую я завел ключом в форме круглого квадрата, улыбаясь, вчера ходила по потолку»).

Некоторые средневековые логики предлагали решать парадоксы как бы в «трехзначной» логике (значение инсолюбилии не истина и не ложь, а нечто индифферентное по отношению к истине и лжи, например, оценка «нейтрально»). Но на этом пути парадоксы возвращаются «через окно». Достаточно рассмотреть предложение «Данное предложение ложно или нейтрально». Если оно ложно, то оно истинно. Если оно нейтрально, то оно тоже истинно. А если оно истинно, то оно либо ложно, либо нейтрально. Итак, имеются следующие варианты разрешения парадоксов:

  • 1) инсолюбилия — вообще не высказывание;
  • 2) это неосмысленное высказывание>;
  • 3) это ложное высказывание;
  • 4) это высказывание с третьей истинностной (или квазиистинностной) оценкой.

Прежде чем переходить к анализу современных подходов к решению парадоксов, рассмотрим вот такой вариант парадокса лжеца с тремя высказываниями {разъяснения Рэймонда Смаллиана, «Как же называется эта книга?»)[3] [4]:

A. Это утверждение содержит пять слов.

B. Это утверждение содержит восемь слов.

C. Только одно утверждение па этой карточке истинно.

Утверждение А заведомо истинно, а утверждение В заведомо ложно.

Проблема возникает в связи с утверждением С. Если оно истинно, то оно ложно, а если оно ложно, то оно истинно. Многие считают совершенно недопустимым любое утверждение, содержащее ссылку на себя (так называемое авто- или самореферентное высказывание). Однако с утверждениями А и В никаких трудностей не возникает. А истинно, В ложно, их смысл совершенно ясен и значение истинности устанавливается без труда. Рассмотрим теперь следующее утверждение: «Это утверждение истинно». Оно не приводит ни к каким парадоксам. Никаких противоречий не возникает, независимо от того, предположим ли мы, что оно истинно, или будем считать его ложным. Тем не менее это утверждение не имеет смысла по следующим причинам. Всякий раз, когда возникает необходимость установить, что означает истинность какого-нибудь утверждения, мы начинаем с выяснения того, что означает само утверждение. Например, пусть X — утверждение «Дважды два — четыре». Истинность утверждения «X истинно» зависит от того, что означает утверждение X. Прежде чем я смогу понять, что означает истинность утверждения X, мне необходимо выяснить, что означает смысл входящих в X слов и в чем заключается смысл самого утверждения X. В данном случае я знаю, что означает каждое слово, входящее в X, и мне ясен смысл утверждения X: в нем говорится, что дважды два равно четырем. Поскольку мне известно, что дважды два действительно равно четырем, то я знаю, что X должно быть истинно. Но я не мог бы знать, что X истинно, если бы не знал, что дважды два — четыре. Более того, я бы не мог знать, что означает истинность утверждения X, если бы не знал, что означает утверждение «Дважды два — четыре». Приведенный пример отчетливо показывает, что истинность утверждения «X истинно» зависит от того, что означает само утверждение X. (Если X — это «Дважды два — шесть», то утверждение «X истинно» является ложным.) Если же X устроено так, что его значение зависит от истинности утверждения «X истинно», то мы оказываемся в ловушке, ибо ходим по кругу. Именно так и устроено внешне безобидное утверждение «Это утверждение истинно». Прежде чем решить, истинно или нет данное утверждение, надо понять, что оно означает и в какой ситуации оно могло бы быть истинным, а в какой — ложным. Но в нем не описывается такая проверочная ситуация, а говорится лишь, что оно истинно. Таким образом, нельзя узнать, что означает истинность утверждения «Это утверждение истинно», пока неизвестно, что оно означает, а узнать, что оно означает, нельзя до тех пор, пока неизвестно, что означает его истинность. Наше утверждение не содержит никакой информации. Такие высказывания принято называть не вполне обоснованными. Парадокс лжеца (и все его варианты) основан на использовании необоснованных (не вполне обоснованных) утверждений. В парадоксе Журдена не обоснованы утверждения на обеих сторонах карточки. В этом последнем примере утверждения А и В обоснованы, а С не обосновано.

Теперь у нас есть все, чтобы подробно рассказать о двух основных подходах к парадоксам в современной логике и методологии (излагается в соответствии с работами А. А. Ивина «Логика» и «Логика. Элементарный курс»).

1. Подход Альфреда Тарского

Тарский («Понятие истины в формализованных языках», 1935) видел причину семантических парадоксов в свойстве семантической замкнутости языков — их способности выступать метаязыками по отношению к самим себе. Парадокс лжеца — типичный пример тех трудностей, к которым приводит это смешение двух уровней языка (языка-объекта, на котором говорится о внеязыковой действительности, и метаязыка, на котором говорят о языке-объекте). Парадоксы возникают вследствие того, что мы используем один и тот же естественный язык в одном случае для сообщения информации о некоторых объектах реальности, а в другом чтобы говорить о самих выражениях языка (добавим от себя: вспомним в этом ключе парадоксы Греллинга и Берри: одно дело, когда выражение определяет число «впрямую», и совсем другое — через указание на свойства выражений, которыми оно может быть определено; одно дело, когда мы, употребляя термин «гетерологический», говорим обо всех «обычных» прилагательных языка, и совсем другое — когда применяем этот термин к себе самому!). Эта неопределенность и создает противоречивую ситуацию. В парадоксе лжеца понятия истины и лжи употребляются и для характеристики самих высказываний, и для соотнесения этих высказываний с действительностью. В самом деле, в утверждении «Это утверждение ложно» понятие лжи характеризует некоторое отношение между утверждением и реальной действительностью. Когда же мы употребляем это понятие применительно к предложению, заключенному в кавычки, то фактически имеем дело с именем предложения. А это совершенно другое дело. Таким образом, естественный язык используется в разных целях:

Альфред Тарский (1901-1983)

  • 1) чтобы формулировать выражения языка;
  • 2) чтобы говорить о самих этих выражениях.

Такая универсальность естественного языка неизбежно связана с его неоднозначностью, вследствие которой и могут возникать недоразумения и парадоксы. Такие языки, как мы уже говорили, называются семантически замкнутыми. Согласно Тарскому, давшему четкое определение этого термина, язык семантически замкнут, если в этом языке может быть образовано имя выражения самого этого языка и имеются семантические концепты, такие как «истинное высказывание», «х определяет у» и т.д., относящиеся к выражениям этого языка. Тарский полагал, что логически корректными могут быть лишь языки, не являющиеся семантически замкнутыми. В них утверждения о семантических свойствах объектного языка формулируются уже не в самом этом языке, а в метаязыке. В языке, семантически не замкнутом, нельзя сформулировать высказывание, утверждающее свою ложность, или построить имя, приводящее к парадоксу Берри; аналогично — не возникают и другие из известных семантических парадоксов. Подразделение на объектный и метаязык, адекватный для семантических целей, действительно является одним из возможных средств избавления от семантических парадоксов. Покажем это на примере.

Если бы у кого-то возникла мысль о необходимости говорить о мире на одном языке, а о свойствах этого языка — на другом, он мог бы воспользоваться двумя разными существующими языками, например русским и английским. Вместо того чтобы просто сказать «“Корова” — это имя существительное», он сказал бы «“Корова” is а поип», а вместо «Утверждение “Стекло не прозрачно” ложно» произнес бы «The assertion “Стекло не прозрачно” is false». При таком использовании двух разных языков сказанное о мире явно отличалось бы от сказанного о языке, с помощью которого говорят о мире. Первые высказывания относились бы к русскому языку, вторые — к английскому. Если бы, далее, этому человеку захотелось высказаться по поводу каких-то обстоятельств, касающихся уже английского языка, он мог бы воспользоваться еще одним языком, допустим — немецким. Для разговора о последнем можно было бы прибегнуть, например, к испанскому, для разговора об испанском — к польскому и т.д. Получается, таким образом, своеобразная лесенка, или иерархия языков, каждый из которых используется для определенной цели: на первом говорят о предметном мире, на втором — об этом первом языке, на третьем — о втором языке и т.д. Такое разграничение языков по области их применения — редкое явление в обычной жизни. Но в науках, специально занимающихся, подобно логике, языками, оно иногда оказывается весьма полезным. Ясно, что, если язык и метаязык разграничиваются указанным образом, утверждение «Я лгу» уже не может быть сформулировано. Оно говорит о ложности того, что сказано на русском языке, и, значит, относится к метаязыку и должно быть высказано на английском языке. Конкретно оно должно звучать так: Everything I say in Russian is false («Все сказанное мной по-русски ложно»), и, поскольку в этом английском утверждении ничего не говорится о нем самом, никакого парадокса не возникает. Различение языка и метаязыка, как уже говорилось, позволяет устранить парадокс лжеца. Тем самым появляется возможность корректно, без противоречия, определить классическое понятие истины: истинным является высказывание, соответствующее описываемой им действительности. Понятие истины, как и все иные семантические понятия, имеет относительный характер: оно всегда может быть отнесено к определенному языку. Тарский показал, что классическое определение истины должно формулироваться в языке, более широком, чем тот язык, для которого оно предназначено. Иными словами, если мы хотим указать, что означает оборот «высказывание, истинное в данном языке», нужно помимо выражений этого языка пользоваться также выражениями, которых в нем нет1.

Границы между языком и метаязыком в семантически замкнутом языке не существует. Средства его настолько богаты, что позволяют не только что-то утверждать о внеязыковой реальности, но и оценивать истинность таких утверждений. Этих средств достаточно, чтобы воспроизвести в языке парадокс лжеца. Семантически замкнутый язык оказывается, таким образом, с этой точки зрения («логической») внутренне противоречивым. Каждый естественный язык, очевидно, является семантически замкнутым и, как следствие, противоречивым. Подход Тарского — отказ от использования таких языков — приемлем, конечно, только в случае языков искусственных (формализованных), допускающих ясное подразделение на язык-объект и метаязык. В естественных же языках с их неясной структурой и возможностью говорить обо всем на одном и том же языке такой метод не очень реален[5] [6]. Стало быть, имеет ли смысл ставить вопрос о внутренней противоречивости этих языков? Не проще ли просто признать, что их богатые выразительные возможности имеют и обратную сторону — парадоксы? Отметим, что в Средние века нечто подобное подходу Тарского было у Стефана из Монте.

2. Подход А. Пуанкаре и Б. Рассела

Эти мыслители полагали, что причина как логических, так и семантических парадоксов кроется в использовании так называемых неиредикатив- ных определений, познавательных приемов, также сходных с принципом порочного круга.

Непредикативным называется определение некоторого объекта (точнее, его имени) посредством ссылки на множество, к которому этот объект сам принадлежит.

В парадоксе Берри искомое число определяется посредством выраже

Бертран Рассел (1872-1970)

ния, апеллирующего ко всему множеству подобных выражений, в парадоксе Греллинга слово «гетерологический» само является прилагательным, в парадоксе Рассела допускаются множества, которые могут быть элементами самих себя, и т.д. Действительно, если исключить непредикативные определения, то ни логические, ни семантические парадоксы не возникают. Однако простой отказ от непредикативных определений оборачивается большими концептуальными «тратами».

Дело в том, что такого рода определения являются существенными для построения значительной части математики. Да и вообще в жизни непредикативные определения встречаются на каждом шагу («Россия — самая большая страна в мире», «Холден — единственный темнокожий баскетболист сборной России»,

«Пятерка — лучшая оценка» и т.д.).

По данному пути разрешения парадоксов пошла так называемая теория типов Рассела. А можно, в принципе, и ограничить аксиому свертывания. Тарский указывал, что семантические парадоксы возникают не только из-за семантической замкнутости языков самой по себе (это мы уже знаем), но еще и из-за действия законов обычной логики. Польский логик не видел оснований для отказа от этих законов и сконцентрировался на решении проблемы разграничения объектного языка и метаязыка. Но вообще-то вполне можно поставить под сомнение и принцип, согласно которому всякое осмысленное высказывание может оцениваться как истинное или неистинное. Парадокс лжеца возникает лишь при допущении, что предикат (свойство) «быть истинным» определен на всем классе высказываний объектного языка. Отказ от такого рода допущения позволяет избежать парадоксов типа «лжеца» без разделения на объектный и метаязык. Но расплачиваться за это — и это надо понимать — приходится отказом от классической логики. В таком случае возникает сложная проблема уточнения понятия осмысленного высказывания и критериев разграничения осмысленности и неосмысленности. С точки зрения Рассела, лишенным смысла является любое высказывание обо всех высказываниях именно в силу того, что в нем содержится ссылка на совокупность, к которой оно само принадлежит. Тем самым истинностной оценке в подходе Рассела не подлежит не только парадоксальное утверждение «Это высказывание ложно», но и высказывания типа «Все высказывания истинны», которые не приводят к парадоксам (о теории типов подробнее см. Приложение 2 к этой главе: «От античной философии к современной логике: аргумент Аристотеля “третий человек”, ординалы и теория типов Рассела». URL: http://www.logic-books.info/sites/default/ files/00b-tretiy_chelovek_ordinaly_i_teoriya_tipov-7_stranic.doc).

В общем, как уже отмечалось, до сих пор не было найдено ни одного решения парадоксов, с которым бы все согласились. Проблема объяснения парадоксов по-прежнему открыта и по-прежнему важна.

  • [1] URL: http://oko-planct.su/science/scienccdiscussions/52301-logichcskic-paradoksy.html.
  • [2] Ивин А. А. Логика: URL: http://eop.narod.ru/logika/008_801.htm.
  • [3] Ивин А. А. Логика.
  • [4] Смаллиан Р. Как же называется эта книга? М. : Издательский дом Мещерякова, 2007.С. 234-236.
  • [5] Даглас Хофштадтер приводит такой любопытный пример на тему «Язык и метаязык».Объявление «Курить запрещено», висящее в кинотеатре, относится не к актерам в показываемых фильмах, а к посетителям кинотеатра! — вставка наша.
  • [6] Ивин А. А. Логика. Элементарный курс. М.: Гардарики, 2001.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >