Искусство писать объявления

  • 1. Больных в семь утра закапывать всех! (Объявление в глазном отделении больницы).
  • 2. Вяжем детские кофточки из шерсти родителей.
  • 3. Дети выдаются отцам только в трезвом состоянии.
  • 4. Дети до пятилстнего возраста проходят в цирк на руках.
  • 5. Кондитерская фабрика приглашает на работу двух мужчин — одного для обертки, другого для начинки.
  • 6. Ларек «Вторсырья» принимает отбросы общества охотников и рыболовов в виде костей.
  • 7. Лифт вниз не поднимает.
  • 8. Продаются три поросенка, все разного пола.
  • 9. Сегодня в холле гостиницы состоится лекция на аморальные темы. Читает милиция.

Фольклор

А союз естественного языка «если... то...» как таковой предполагает наличие еще и содержательной связи между частями этого сложного предложения. КЛВ не может провести существенного различия между, скажем, высказываниями «Когда на Марсе зацветают яблони, голубоглазые русалки перемещаются из Тихого океана в Индийский», «Когда металлический стержень нагревают, он расширяется», «Если Киев является столицей Украины, то логику основал Аристотель» — они все для нее истинны!

Следует отметить, что подформулы А и В в составе импликации A Z) В имеют свои собственные названия (раньше мы говорили просто — «первый конъюнкт» или «правый дизъюнкт»). Формула А называется антецедентом импликации (от «анте» — перед), формула В — консеквентом импликации (от «кон- секвенция» — то, что следует). Табличное определение импликации:

А

в

Az> В

И

и

И

И

л

л

Л

и

и

л

л

и

Импликация ложна тогда и только тогда, когда ее антецедент истинен, а ее консеквент (при этом) ложен (2-я строчка), и истинна тогда и только тогда, когда ее антецедент ложен (3-я и 4-я строчки) или консеквент истинен (1-я и 3-я строчки — в результате как раз и получается перечисление 1, 3-й и 4-й строчек). Важно понять, что выразительные возможности КЛВ просто не оставляют нам шанса придумать более корректное с содержательной точки зрения табличное определение импликации. Конечно, больше всего вопросов, недоумений и нареканий вызывают 3-я и особенно 4-я строчки таблицы. Да, с точки зрения классической экстенсиональной логики высказывания «Если Папа Римский — марсианин, то дважды два - четыре» (3-я строчка) и «Если дважды два — пять, то Волга впадает в Тихий океан» (4-я строчка) истинны, как истинно и высказывание «Если 2 — наименьшее простое число, то коалы — сумчатые животные» (1-я строчка).

Но как бы мы могли попытаться изменить определение функции импликация? Поставить в 3-ю и 4-ю строчки «ложь»? Тогда у нас получилась бы конъюнкция! Поставить «ложь» вместо «истины» только в 4-й строчке? Но тогда значения функции просто совпали бы со значениями одного ее аргумента (В) — иными словами, она перестала бы быть функцией (точнее, стала бы нульместной, будучи редуцированной до своей части В с уже фиксированным значением).

Но лучший ответ критикам таблицы истинности для импликации следующий. Смиритесь с тем, что КЛВ не способна отразить подлинный смысл высказывания «Если А, то В». Рассматривайте высказывания вида «Если А, то В» просто как сокращения для «Неверно, что А или В» (неверно, что А имеет место и при этом В не имеет места). По таблице видно, что импликация A z> В равносильна выражению (1A v В), или выражению 1 & 1 В). Разве кто-то усомнится теперь в истинности высказываний «Папа Римский не марсианин, или дважды два — четыре», «Дважды два не пять, или Волга не впадает в Тихий океан», «2 не является наименьшим простым числом, или коалы — сумчатые животные»? Не стоит требовать от системы того, чего она не может дать уже в силу своей структуры. КЛВ позволяет эффективно решать ряд важных (в том числе и технически важных) проблем. Но за эту эффективность нужно платить. В частности, отсутствием в собственном языке «реальной импликации», возможности выразить содержательную связь высказываний.

6. Высказывания с эквиваленцией (но ни в коем случае не «эквивалентные»!). В естественном языке этот тип логической связи передается выражениями «тогда и только тогда, когда...», «если и только если...», «в том и только в том случае, если...», «равносильно», «эквивалентно», «необходимым и достаточным условием для... является...». Формульная запись: А = В, где А и В — исходные объединяемые в единое сложное высказывание выражения, = — знак эквиваленции. Содержательно-логический смысл высказывания «Л эквивалентно В»утверждение совпадения значений А и В, невозможности возникновения в действительности ровно одной из ситуаций Aw В. Табличное определение эквиваленции:

А

в

А = В

И

и

И

И

л

л

Л

и

л

л

л

и

Эквиваленция истинна тогда и только тогда, когда ее аргументы принимают одинаковые значения — либо оба истинны (1-я строчка), либо оба ложны (4-я строчка), и ложна тогда и только тогда, когда ее аргументы принимают разные значения — либо первый истинен, а второй ложен (2-я строчка), либо второй истинен, а первый ложен (3-я строчка). Это очевидное формальное отражение содержательного смысла утверждения «могут возникнуть только вместе». Внимательные читатели уже наверняка обратили внимание, что табличное определение эквиваленции «зеркально» («инверсионно») определению строгой дизъюнкции. Поэтому выражение А = В равносильно выражению 1(А у В), а выражение А у_В равносильно выражению 1 = В). Выражения А = В и А у В противоречат друг другу, одно и только одно из них всегда истинно.

Стандартный список логических связок на этом исчерпывается. Он включает, таким образом, одну одноместную (отрицание) и пять двухместных логических функций (конъюнкцию, дизъюнкцию, строгую дизъюнкцию, импликацию и эквиваленцию). Для практических целей этого списка не то что достаточно, и он является сильно избыточным! (Ниже мы поговорим об этом подробнее.) Но рассмотрим еще две двухместные логические функции, иногда включаемые некоторыми логиками в язык КЛВ при ее построении, тем более что одна из них имеет непосредственный и широко распространенный аналог в естественном языке.

7. Высказывания с функцией Нико. В естественном языке этот тип логической связи передается союзом «ни... ни...» («Ни днем, ни ночью Штирлиц не знал покоя», «Ни на Маше, ни на Кате я не женюсь»). Формульная запись: А I В, где Лий — исходные объединяемые в единое сложное высказывание выражения, i — знак данной функции, носящей имя логика Нико. Содержательно-логический смысл высказывания «Ни Л, ни В» — утверждение одновременного отсутствия ситуаций Л и В. Табличное определение функции Нико:

А

в

А 1 В

И

и

л

И

л

л

Л

и

л

л

л

и

Функция Нико истинна тогда и только тогда, когда оба ее аргумента ложны (4-я строчка), и ложна тогда и только тогда, когда хотя бы один из аргументов истинен (1—3-я строчки). Это очевидное формальное отражение содержательного смысла утверждения «ни одно, ни другое». Из таблицы становится понятна причина, почему функция Нико в языке КЛВ выполняет роль «нелюбимой падчерицы». Ведь фактически она не что иное, как антидизыонкция. Выражение А I В равносильно выражению 1(А v В) или выражению 1А & 1 В. Поэтому в целях минимизации количества различных знаков функций операцию Нико часто и не рассматривают в качестве самостоятельной логической функции (а лишь как сложную функцию — так называемую суперпозицию функций «отрицание» и «дизъюнкция» или «отрицание» и «конъюнкция»). Все зависит от того, какие знаки функций мы договоримся использовать изначально, строя язык КЛВ.

8. Высказывания с функцией Шеффера. В естественном языке для этого типа логической связи трудно подобрать «неискусственный» союз, если не считать таковым тройной союз «или не... или не... или ни то, ни другое» («Или Гиммлер, или Геббельс не замешаны в организации этих переговоров, или они оба не замешаны») или опять-таки сложный союз «не и». Формульная запись: А | В, где А и В — исходные объединяемые в единое сложное высказывание выражения, | — знак данной функции, носящей имя логика Шеффера. Содержательно-логический смысл высказывания «Или не Л, или не В» — утверждение отсутствия по крайней мере одной из ситуаций А и В. Табличное определение функции Шеффера:

А

в

А | В

И

и

л

И

л

и

Л

и

и

л

л

и

Функция Шеффера ложна тогда и только тогда, когда оба ее аргумента истинны (1-я строчка), и истинна тогда и только тогда, когда хотя бы один из аргументов ложен (2—4-я строчки). Это очевидное формальное отражение содержательного смысла утверждения «по крайней мере, чего-то одного нет». Из таблицы становится понятна причина, почему и функция Шеффера не относится к числу базовых в языке КЛВ. Ведь фактически она не что иное, как аптиконьюпкция. Выражение А В равносильно выражению 1 & В) или выражению 1A v 1 В.

В математической логике (есть такой специальный раздел математики), опирающейся на так называемую булеву алгебру, тоже используется понятие функций истинности. Но там приняты обозначения не И и Л (потому что математику в данном случае совершенно не интересуют гносеологические аллюзии), а 0 и 1. Чисто математический смысл основных логических связок может быть обобщен в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Математический смысл основных логических связок

№ п/п

Логическая функция

Символ

Математическая функция

Символ

1

Отрицание

-1 X

Инверсия

1 - X

2

Конъюнкция

х&у

Умножение

х*у

3

Дизъюнкция

XV у

Сложение

X + у

4

Строгая дизъюнкция

XV у

Нс равно

ХФу

5

Импликация

XZ)y

Меньше или равно

X < у

6

Эквиваленты

X = у

Равно

X = у

В самом деле, если заменить истину на 1, а ложь на 0, то, к примеру, математические равенства ()х 1 =0, 1 х() = 0, 0x0 = 0, 1 х 1 = 1 в точности опишут свойства конъюнкции. Можно сказать и так: конъюнкция — это минимальное значение из значений аргументов, дизъюнкция — максимальное. Импликация истинна всегда, когда значение антецедента меньше или равно значению консеквента (11, 00, 01). Об алгебраической подоплеке строгой дизъюнкции и эквиваленции мы уже говорили, когда определяли эти функции.

Джордж Буль (1815-1864), стоявший у истоков алгебры логики и символической логики

Таким образом, язык КЛВ формально задается так.

  • 1. Алфавит логики высказываний включает в себя три вида символов:
  • 1) пропозициональные переменные — р, q, г, s,p{...
  • 2) пропозициональные связки--1, &, v, у, э, = ...
  • (любой набор таких связок, удовлетворяющий условию функциональной полноты — об этом см. ниже);
  • 3) скобки — (,).

Пропозициональные переменные (от лат. propositio — высказывание) замещают собой простые высказывания.

Значимые выражения в языке КЛВ называются формулами. Пропозициональные переменные сами по себе уже являются (атомарными) формулами. Более сложные формулы получаются из атомарных с использованием, как мы уже знаем, пропозициональных связок.

Определение формулы

  • 1) пропозициональные переменные являются формулами;
  • 2) если А и В формулы, то —А, А & В, A v В, AvB,Az>B,A = B

тоже формулы;

3) ничто другое не является формулой.

Формула, входящая в состав некоторой более сложной формулы, называется ее подформулой и выделяется скобками. Переводить высказывания с обычного языка на естественный нетрудно. Пусть, например, р означает «Ромео любит Джульетту», q «Джульетта любит Ромео», г — «Джульетта красивая», s — «Ромео храбрый». Тогда переводом следующих высказываний будут формулы:

  • «Ромео храбрый и любит Джульетту» (s & р)
  • - «Неверно, что Джульетта некрасивая или Ромео ее не любит» ~l(—v

v^p);

  • - «Ромео не любит Джульетту или неверно, что Джульетта некрасивая» (—*р v —1—I/*);
  • «Если Джульетта красива, а Ромео храбр, то они любят друг друга» ((r&s)z)(p&q))
  • (В. В. Горбатов).

Выполните упражнение 1 из Практикума.

А теперь покажем на практике, как вычисляется значение «совсем сложного» высказывания. Это значение по определению совпадает со значением формулы, которая является его логической формой. Подберем такую формулу (не обращая внимания здесь на содержательную искусственность соответствующего высказывания), чтобы в ней одновременно встречались знаки многих разных пропозициональных функций, и не забудем указать значения конкретных пропозициональных параметров (переменных) аналогов простых высказываний в составе сложного. Возьмем такую формулу:

и проинтерпретируем переменную р в значении «истина», а переменную q — в значении «ложь». Задача — установить значение всей формулы при этих условиях. (По соглашению, скобки в записи типа опускаются, мы считаем, что отрицание связывает теснее любой другой связки.) Строим такую таблицу (табл. 3.2).

Таблица 3.2

Начало построения таблицы истинности для конкретной строчки

р

Я

О

1

Я)

D

о

Р

=

я))

&

1

Я

Y

р)

V

(

1

О

р

&

я)))

и

л

Далее, принимая во внимание скобки, расставляем «порядок действий» (табл. 3.3) (принимая соглашение, что расставляется он в целом слева направо — т.е. для двухместных функций сначала вычисляется значение левого аргумента, а потом правого).

Таблица 3.3

Расстановка порядка действий

2

1

5

3

4

13

12

6

7

11

10

8

9

Р

Я

о

Ср

1

я)

Э

О

Р

=

я))

&

1

Я

Y

р)

V

1

о

Р

&

я)))

И

л

Опираясь на табличное определение функций, начинаем «обсчет» в соответствии с порядком действий (табл. 3.4).

Начало работы с таблицей

Таблица 3.4

2

1

5

3

4

13

12

6

7

И

10

8

9

р

Я

о

1

я)

3

О

P

=

я))

&

1

Я

Y

р)

V

1

О

р

&

я)))

И

л

л

и

и

л

и

Л

Поясним. Значения р и q в самой формуле берутся из левой части таблицы (это изначальные значения) и по желанию или из соображений удобства (если формула длинная, все время смотреть влево в определенный момент становится сложно) переписываются в соответствующие клеточки таблицы под буквами р и q. Истина в столбике «действие 1» получилась в результате применения операции Шеффера к аргументам р и q (т.е. «истина» и «ложь»). «Ложь» в столбике «действие 2» — результат отрицания итога действия 1. Действие 3 — отрицание первоначального значения р. Действие 4 — применение эквиваленции к аргументам («ложь») и q («ложь»). Поэтому и результат этого действия — истина (см. табличное определение эквиваленции). Действие 5 — импликация. Значение ее антецедента 1 | q) — «ложь» — вычислено на шаге 2, значение консеквента 1 p = q — «истина» — на шаге 4. Значение всей импликации — «истина».

Теперь заполним правую часть таблицы (табл. 3.5), посчитав значение второго конъюнкта главной конъюнкции (вся формула в целом как таковая является, очевидно, конъюнктивной).

Таблица 3.5

Завершение работы над таблицей

2

1

5

3

4

13

12

6

7

И

10

8

9

р

Ч

о

1

ч)

D

о

р

=

&

1

Ч

У

р)

V

1

о

р

&

ч)))

и

л

л

и

И

л

и

л

л

л

и

л

и

и

л

и

л

л

Л

Обратим внимание наших читателей, что аргументы при выполнении действия 10 — это q («ложь») и результат действия 9, действие 11 — это применение дизъюнкции к результатам действий 7 и 10, действие 12 - применение отрицания к результату действия 11, действие 13 — конъюнкция результатов действий 5 и 12. Ответ — формула при наборе значений аргументов ИЛ принимает значение «истина». Разумеется, механизм работы не изменится, если переменных будет не две, а три, четыре и т.д.

Выполните упражнения 2—3 из Практикума.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >