Условия истинности категорических высказываний. Метод модельных схем - суть силлогистики как логической теории

С точки зрения логики логические константы а, е, г, о в силлогистике являются «аналогами» пропозициональных связок для случая КЛВ. В КЛВ с помощью этих логических функций из простых высказываний образовывались сложные — собственно говоря, предмет изучения самой КЛВ. Причем каждой такой связке соответствовал свой способ порождения значения всего сложного высказывания из значений составляющих его простых (аргументами истинностных функций &, v, D, п и др. служили истинностные оценки; в записи формул типаp&q переменные pwq обозначали высказывания, которые интерпретировались как ложные или истинные). В силлогистике же мы имеем выражения типа SaP, РеМ и т.д., где S, Р, М — знаки уже не предложений, а классов, а маленькие буквы а, е, г, о — «логические функции», но иной природы, нежели пропозициональные связки. Поскольку значениями терминов S, Р, М являются множества, нетрудно догадаться, что «комбинацией значений аргументов» для функций такого «силлогистического» типа будут различные способы соотношения между двумя классами, а значениями самих функций — оценки «истина» и «ложь» в каждом конкретном случае такого соотношения. Эти оценки (как в случае пропозициональных связок) должны отражать естественное понимание терминов «все», «некоторые» (в логике — в значении «по крайней мере один», «существует», «найдется»), «ни один», «есть», «не есть». Если принять соглашение, что в качестве терминов S, Р, М можно использовать знаки только непустых (в универсуме всегда найдется объект, подпадающий под этот термин) и неуниверсальных (в универсуме всегда найдется объект, не подпадающий под этот термин) классов, то окажется, что между двумя классами существует ровно 7 различных объемных отношений (в КЛВ для двух переменных было 4 комбинации значений переменных). Изображение каждого такого отношения называется модельной схемой (аналог строчки таблицы для КЛВ).

Обратим внимание на различия между схемами 5 и 6, 4 и 7. На схеме 5 в универсуме рассмотрения (прямоугольнике, внутри которого нарисованы круги или квадраты, обозначающие соответствующие множества) можно найти объект, не являющийся ни S, ни Р. Если универсум — животные, то, конечно, найдется животное, которое и не кошка, и не собака. А вот на схеме 6 такого объекта нет. Нет объекта — в универсуме людей — который не был бы ни мужчиной, ни женщиной. (Фактически на схеме 5 изображено отношение противоположности для случая с классами, на схеме 6 — отношение противоречия.) Аналогично и для случая со схемами 4 и 7. В обоих случаях классы S Р имеют общие элементы, но на картинке 7 объединение объемов этих классов совпадает с универсумом, а на картинке 4 — нет. Есть такой человек, который и ни мужчина, и не шофер (любая маленькая девочка, к примеру), но не существует такого числа, которое было бы и не больше 80, и не меньше 100. Очевидно, что на этой схеме часть универсума, обозначенная кругом, принадлежит одновременно и S, и Р (на схеме 3 «р/с» означает «равносторонний»).

Приступим теперь к «табличному определению» наших функций а, е, i,

о. Заодно и продемонстрируем разницу между формулами SaP и PaSf SoP и PoS.

Значения «истина» и «ложь» в этой таблице расставлены в полном соответствии с тем, «подходит» ли та или иная модельная схема под данное высказывание (формулу) или нет. Например, мы видим, что формула SaP истинна на тех и только тех модельных схемах, где круг S полностью включается в круг Р (а в этом и смысл слова «все»); формула SiP истинна на всех таких схемах, где множества S и Р имеют хотя бы один общий элемент, т.е. пересекаются (а в этом и смысл логического термина «некоторые» в значении «по крайней мере один»), и ложна на двух оставшихся; формула PoS истинна на всех тех и только тех модельных схемах, где во множестве Р можно отыскать хотя бы один элемент (графически — поставить точку внутри круга/квадрата, соответствующего множеству Р), не принадлежащий множеству S (указанная точка должна лежать вне пределов круга/квадрата, соответствующего S).

Метод модельных схем, являясь аналогом метода таблиц истинности в КЛВ, помогает силлогистике успешно выполнять все основные функции логических теорий. Например, с помощью этого метода можно выделить из всего множества силлогистических формул класс логических законов. Это будут такие формулы, которые примут значение «истина» на всех модельных схемах (теперь «интерпретация нелогических параметров» - это каждая отдельная модельная схема, а все возможные модельные схемы для данных терминов составляют все множество «допустимых в данной логической теории» интерпретаций). Читатели могут, построив соответствующую таблицу, убедиться, к примеру, в том, что формулы SaP z> PiS и -1 PoSз PaS логические законы (не говоря уже о формулах SaS и SiS), а формула —i (SeP v SiP) логическое противоречие. Аналогично выполняется в силлогистике и работа по установлению логических отношений между формулами. Из вышеприведенной таблицы с определениями логических констант а, е, г, о следует (по «4 вопросам»), к примеру, что формулы SaP и SeP находятся в отношении противоположности, а формулы SaP и PoS - в отношении логической независимости. В самом деле, не существует такой модельной схемы, на которой формулы SaP и SeP были бы одновременно истинны, но существует такая модельная схема (2, 4 или 7), на которой они обе ложны. А для формул SaP и PoS — в полном соответствии с определением отношения логической независимости — найдутся все возможные комбинации: они вместе истинны на модельной схеме 1; вместе ложны на схеме 2; SaP истинна, a PoS при этом ложна на схеме 3; PoS истинна, a SaP при этом ложна на схемах 4—7.

Можно также утверждать, что, скажем, умозаключение

является правильным, поскольку не существует такой модельной схемы, на которой бы формула SeP была бы истинна, а формула PoS была бы при этом ложна. Таким образом, мы видим, как конкретизируются общие для всей логики определения в случае силлогистики.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >