Закон обратного отношения между объемами и содержаниями понятий

Как уже видно, объемы и содержания понятий представляют собой связанные характеристики. И потому неудивительно, что между ними существует «принципиальная координация», называемая в логике законом обратного отношения между объемами и содержаниями понятий.

Закон обратного отношения: понятие А уже по объему, чем понятие В (объем А есть собственная часть объема В), тогда и только тогда, когда А богаче по содержанию, чем В.

Но если с «уже по объему» все понятно (здесь работает аппарат теории множеств), то что значит «богаче по содержанию»? Это значит, что из информации, представляющей собой содержание А, можно логически извлечь информацию, представляющую собой содержание В. А это, разумеется, предполагает, что это содержание записано в виде формул. У нас нет возможности подробно рассматривать вопрос о логической форме понятий — мы вынуждены дать лишь общее представление о современных методах решения вопроса «Какое из двух понятий богаче по содержанию?».

Поэтому запишем закон обратного отношения в схематическом виде:

где WA, WB — объемы понятий А, В, а / (А) и I (В) — информация, заключенная в их содержании (точнее, формулы, ее выражающие).

Разберем действие закона обратного отношения на примерах.

Случай I. Пусть даны следующие три понятия (справа — их содержание, записанное в общем виде):

  • 1. Кошка К
  • 2. Трехлетняя кошка К & Т
  • 3. Черная трехлетняя кошка К & Т & Ч

К — существо является кошкой, Т — существо является трехлетним, Ч — существо черного цвета.

Очевидно, что эти три содержания можно расставить в зависимости от их информативности («богатства») по убывающей:

к&т&ч

к&т

к

в силу следующего:

К&Т&Ч |= К & Т, но обратное неверно;

К&Т |= К, но обратное неверно.

Следовательно (в силу закона обратного отношения), объемы этих понятий следует изобразить так:

В самом деле, черных трехлетних кошек строго меньше, чем просто трехлетних кошек (среди тех найдутся еще белые, полосатые и др.). А трехлетних кошек строго меньше, чем просто кошек (есть двухлетние, пяти летние и др.). Таким образом, нам становится понятен содержательный (просим прощения за тавтологию) смысл закона обратного отношения. Действительно, чем больше мы имеем информации об объектах из универсума, тем меньше самих этих объектов — тех, что удовлетворяют всем нашим требованиям, всем частям нашей информации. Вспомните, в гл. 3 мы говорили о подобных мотивах при разборе вопроса о «парадоксах» логического следования и импликации.

Случай II. Пусть даны следующие три понятия (справа — их содержание, записанное в общем виде):

  • 1. Человек, знающий английский язык, — А.
  • 2. Человек, знающий английский и французский язык, — А & Ф.
  • 3. Человек, знающий английский или французский язык — A v Ф.

А — «человек знает английский язык», Ф — «человек знает французский язык».

Имеем следующую иерархию содержаний:

А & Ф

А

A v CD

в силу свойств логического следования:

А & Ф |= А, но не наоборот;

А |= A v Ф, но не наоборот.

Следовательно (в силу закона обратного отношения), объемы этих понятий следует изобразить так:

Меньше всего людей, знающих оба языка (2). За счет добавления тех, кто не знает французского (но знает английский), получается более широкий объем понятия 1. За счет добавления тех, кто знает французский, но не знает английского, объем еще расширяется (понятие 3, объединяющее тех, кто знает хотя бы один из двух языков).

Случай III. Пусть даны следующие три понятия (справа — их содержание, записанное в общем виде):

  • 1. Человек, сдавший некоторые экзамены в эту сессию, — SiP.
  • 2. Человек, сдавший логику в эту сессию, — ciP.
  • 3. Человек, сдавший все экзамены в эту сессию, — SaP.

SiP — «некоторые экзамены сданы человеком в эту сессию», SaP — «все экзамены сданы человеком в эту сессию», ЫР — «логика [с] сдана человеком в эту сессию». Выражение сгР заимствовано из варианта силлогистики, где допускаются знаки отдельных (единичных) объектов. Теперь нетрудно расставить эти содержания в порядке убывания информативности:

SaP

ciP

SiP

в силу следующего:

SaP |= ciP, но не наоборот (если сдал все, значит, и логику, но если сдал логику, еще не факт, что сдал все остальное);

ciP |= SiP, но не наоборот (если сдал логику, то что-то уже заведомо сдал, но если сдал что-то, не факт, что в это «что-то» входит именно логика).

Объемные отношения:

Когда формальных методов еще не было, многие логики придерживались убеждения, что «чем больше признаков в содержании, тем больше само это содержание». Пример, наглядно опровергающий эту наивную точку зрения, получил название «парадокс Больцано». Достаточно рассмотреть два понятия: «человек знающий все европейские языки» и «человек, знающий все живые европейские языки» (не будем здесь обращать внимания на фактический объем этих понятий, скорее всего, пустой).

Рассмотрим последний случай, включающий «парадокс Больцано».

Случай IV. Пусть даны следующие семь понятий:

1. Человек, знающий все европейские языки.

  • 2. Человек, знающий все живые европейские языки.
  • 3. Человек, знающий английский язык.
  • 4. Человек, знающий английский и французский языки.
  • 5. Человек, знающий английский или французский язык.
  • 6. Человек, знающий некоторые европейские языки.
  • 7. Человек, знающий некоторые живые европейские языки.

Внимательный сравнительный анализ показывает, что их содержания упорядочиваются в соответствии со следующей последовательностью (цифрами обозначены сами содержания):

1М НЬзНЬ7И , но не наоборот (для каждой пары).

В самом деле (1 |= 2), если человек знает все европейские языки, он заведомо знает все живые такие языки, но обратное неверно — знающий все живые может не знать некоторых мертвых и, таким образом, не знать всех. Последовательность 3—5 нам уже знакома из случая II. Разберем пару 5 |= 7. Если человек знает хотя бы один из двух языков — английский или французский — он, конечно, знает некоторые живые европейские языки. Но обратное неверно — знающие некоторые живые европейские языки могут не знать ни английского, ни французского (а знать, скажем, испанский или итальянский). Случай с парой 7—6 зеркален случаю с парой 1—2. Если человек знает некоторые живые европейские языки, то он заведомо знает хотя бы какие-нибудь европейские языки. Но обратное неверно — знающие хотя бы какие-нибудь европейские языки вполне могут специализироваться только по мертвым языкам и теоретически не знать ни одного живого, т.е. не входить в объем понятия «человек, знающий некоторые живые европейские языки». Объемные отношения между этой семеркой понятий:

Конечно же, меньше всего людей, знающих все европейские языки — и живые, и мертвые (1). К ним добавляются те, кто, зная все живые, не знает каких-то мертвых (получается объем 2). Далее этот объем расширяется за счет тех, кто, зная два живых языка — английский и французский, — знает все же не все живые (составляется объем 4). Потом прибавляются, как мы уже знаем, знающие английский, но не знающие французский (составляется объем 3), потом те, кто знает французский, но не знает английского (получается объем 5). Далее прибавляем тех, кто знает какие-то другие живые европейские языки (образуется объем 7). И, наконец, добавив знатоков мертвых языков, получаем самый широкий из представленных объем 6.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >