Фундаментальные отношения

  • 1. Понятия А и В находятся в отношении совместимости, если и только если пересечение их объемов А и В непусто, т.е. А п В Ф 0. Это означает, что в универсуме имеется по крайней мере один элемент, обладающий как признаком Л, так и признаком В (например, А — студент, В спортсмен).
  • 2. Понятия Ап В находятся в отношении исчерпывания, если и только если объединение их объемов Л и б равно универсуму, т.е. А и В = U. Это означает, что каждый элемент универсума обладает признаком А или признаком В (например, А — сын, В дочь; каждый человек является чьим-то сыном или дочерью).
  • 3. 11онятие б находится к понятию Л в отношении включения (в смысле, что объем б включается в объем Л), если и только если при вычитании объема Л из объема б получается пустое множество, т.е. В/А = 0. Это означает, что всякий элемент универсума, обладающий признаком В, обладает также признаком Л (например, А — учащийся, В студент).

Производные (вспомогательные) отношения выводятся из фундаментальных. Если принять соглашение, что пустые и универсальные понятия использоваться не будут (аналог запрета на использование тождественно-истинных и тождественно-ложных формул), то мы имеем ровно 7 различных (производных) объемных отношений между двумя понятиями — ровно столько же, сколько существовало различных отношений между двумя классами. Мы уже встречались в гл. 4 с этими семью схемами. Вот эти отношения между понятиями: равиообьемность, подчинение,

противоположность (соподчинение), перекрещивание, противоречие, дополнительность.

Еще примеры.

  • 1. Равнообъемностъ: «параллелограмм, имеющий равные углы» (Л) и «параллелограмм, имеющий равные диагонали» (В).
  • 2. Подчинение, «город, расположенный в Европе» (Л) и «город, расположенный на материке Евразия» (В).
  • 3. Соподчинение: «остроугольный треугольник» (Л) и «тупоугольный треугольник» (В).
  • 4. Противоречие. «животное, умеющее плавать» (л> и «животное, не умеющее плавать» (В).
  • 5. Дополнительность: «территория, находящаяся севернее Южного Тропика» (Л) и «территория, находящаяся южнее Экватора» (В).
  • 6. Перекрещивание. «человек, изучающий логику» (Л) и «человек, изучающий немецкий язык» (В).

Подумайте над тем, как выглядели бы остальные 9 схем (очевидно, что всего их 16), если разрешить использование пустых и универсальных понятий. Как бы в этом случае распределялись ответы на «4 вопроса»? Какие аналогии можно было бы установить в этом случае с логическими отношениями между формулами в логических теориях? (Вспомните здесь, что мы говорили об «одновременном наличии нескольких отношений», если используются не только собственно выполнимые формулы.)

Выше мы уже разбирали вопрос об изображении объемных отношений между понятиями относительно случая, когда эти понятия подпадают под действие закона обратного отношения. А теперь обобщим задачу по изображению объемных отношений между понятиями.

В теме 3 при разборе вопроса «Опровержение силлогизмов с помощью метода модельных схем» мы сталкивались с проблемой, когда при наличии конкретного изображения объемного отношения между тремя множествами (S, Pt М) требовалось подобрать конкретные же классы реальных предметов, находящиеся именно в таком отношении. А теперь наши действия будут обратными — имея конкретные классы (объемы соответствующих понятий), мы будем изображать с помощью модельных схем объемные отношения между ними. Причем количество таких классов лимитироваться не будет — их может быть 5, 7, 12 или даже 20.

Очевидно, что нам в этом случае следует установить объемные отношения между каждой парой понятий и совместить эти решения на одном рисунке. Но на практике все оказывается гораздо проще, и огромную роль играет здесь «здравый логический смысл». Сейчас мы на конкретных примерах покажем, как именно решаются задачи на изображение объемных отношений между понятиями с помощью кругов Эйлера. Уловив основную идею (в процессе разбора уже готового решения), наши читатели впоследствии легко смогут сами справляться с подобными задачами, не вдаваясь в теоретические дебри.

Пример 1

Комментарии и пояснения.

Многоугольники (1) и окружности (2) — совершенно различные разновидности геометрических фигур, не исчерпывающие всего их многообразия (кроме окружностей и многоугольников есть еще, к примеру, углы), поэтому в универсуме есть «свободное пространство» за границами кругов 1 и 2. Треугольники (4) и четырехугольники (6) — разновидности многоугольников (1), поэтому соответствующие объемы нарисованы внутри круга 1 (а их сумма не совпадает с объемом 1, так как есть еще и другие многоугольники). Аналогично 3 и 8 — разновидности четырехугольников (есть еще, к примеру, невыпуклые четырехугольники, не являющиеся пи параллелограммами, ни трапециями, поэтому сумма объемов 3 и 8 не совпадает с объемом 6). Ромбы (5) и прямоугольники (7) — разновидности параллелограммов (3), причем такие, что «лишь некоторые ромбы — прямоугольники», «лишь некоторые прямоугольники — ромбы» и «не любой параллелограмм — либо ромб, либо прямоугольник».

Пример 2

Комментарии и пояснения.

В универсуме городов объемы понятий 1 и 4 находятся в отношении противоречия (нет, и не может быть города, который не был бы ни европейским, ни неевропейским, равно как тем и другим одновременно). В таких случаях универсум делят на две части обычно вертикальной чертой. Грубой ошибкой было бы изобразить объемы 1 и 4 в виде двух непересекающихся кругов внутри исходного универсума — это соответствовало бы отношению противоположности, а не противоречия! Похожие случаи, которые могут встретиться, — это отношение между классами мужчин и женщин в классе людей, летающих и нелетающих птиц в классе птиц и т.д. Единичные понятия (как 2 и 6) принято обозначать точками. Азиатские города (3) — разновидность городов неевропейских (4). Города-миллионеры есть и в Европе, и в Азии, и на других континентах. Пекин — азиатский город- миллионер, Москва — европейский город-миллионер. Французских портов на Черном море просто не существует, это понятие пустое, о чем свидетельствует соответствующая запись (W7 = 0) под рисунком.

Пример 3

Па этом примере мы покажем наиболее часто встречающиеся «ловушки» в решении задач подобного типа.

Комментарии и пояснения.

Поскольку элементы объемов этих понятий совершенно разнородны (это и животные, и части тела животных, и места обитания животных, и группы животных), единственным универсумом, в котором можно рассматривать сами эти объемы как соизмеримые, является универсум «всего», т.е. всего того, что вообще может выступать в качестве предмета рассмотрения.

Классы 1 и 3 находятся в отношении перекрещивания (только некоторые хищники — млекопитающие, и только некоторые млекопитающие — хищники). 2 и 5 (тигры и львы) — разновидности хищных млекопитающих. Тигрята (6) — разновидность тигров; львы, живущие в парке (заповеднике) «Серенгети», и львы, входящие в какой-нибудь прайд (львиную семью), — это собственные подклассы львов, между собой находящиеся в отношении перекрещивания (существуют львы-одиночки, некоторые из них живут в «Серенгети», а некоторые — не живут, прайды есть в «Серенгети» и т.д.). Объем понятия 7 — это множество львиных голов. Львиная голова не является львом, поэтому круг 7 мы изображаем отдельно. «Парк (заповедник) “Серенгети”» — единичное понятие и уж, конечно, по объему несовместимо с «львом, живущим в парке “Серенгети”», — лев же не заповедник! И не львиный прайд, поэтому объем 4 не пересекается с объемом 5 (солдат — не взвод, глава семьи — не семья, дерево — не лес). Но львиный прайд является разновидностью реальных объединений хищных животных (наряду с волчьими стаями, собачьими сворами и др.), поэтому круг 4 нарисован внутри круга 12. И наконец, необходимо разобраться с объемом понятия 8. «Семейство кошачьих» — это единичное понятие (разумеется, собирательное), единственный элемент объема которого — множество всех кошачьих как единое целое. И хотя тигры и львы как виды структурно входят в семейство кошачьих (так сказать, мереологически), сами эти животные не являются этим семейством! Еще аналогичный пример: батальон состоит из рот, но роты не являются разновидностями батальонов, поэтому объемы понятий «рота» и «батальон» несовместимы (не пересекаются).

При решении задач подобного типа иногда не ставят себе задачу «загнать все в один универсум», памятуя о явлении несравнимости понятий. (Пример В. Г.)

Предположим, нам надо сравнить понятия о следующих предметах: (1) летательный аппарат тяжелее воздуха, (2) летательный аппарат легче воздуха, (3) самолет, (4) пассажирский самолет, (5) дирижабль, (6) воздушный шар, (7) пилот дирижабля.

Построим единую круговую диаграмму. Универсум — общий род большинства сравниваемых понятий «летательные аппараты».

  • 1 и 2: противоречие;
  • 3 и 4: подчинение;
  • 5 и 6: соподчинение; понятие (7) не сравнимо с остальными, так как его универсум не летательные аппараты, а люди.

Выполните упражнения 21—24 из Практикума.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >