Математическая вероятность как мера правдоподобности

Степень правдоподобности вывода в некоторых логических теориях (например, в КЛВ) можно измерить достаточно точно. Для этого применяют теорию вероятностей (подробно о ней см. подпараграф 6.7.1). Существуют два критерия правдоподобности умозаключений.

1. Критерий высокой вероятности: умозаключение Аи ..., Ап р В

считается правдоподобным, если и только если вероятность В при условии А{ & ... & Ап больше 1 /21.

2. Критерий позитивной релевантности: умозаключение Л..., |~ В

считается правдоподобным, если и только если вероятность В при условии Л1 & ... & Ап больше, чем вероятность формулы В самой по себе.

Но что же такое вероятность высказывания (формулы)?

В КЛВ вероятность высказываний/формул (точнее, вероятность их истинности) высчитывается по формуле

где т — число строк таблицы, в которых формула Л принимает значение «истина», а п — общее число строк в таблице. Условная вероятность (вероятность В при условии Л) определяется по формуле

Рассмотрим, к примеру, такое умозаключение:

Если в этом преступлении виновен Иванов. то Петров невиновен.

В преступлении виновен только один из них.

Обозначим виновность Иванова переменной р, а Петрова — q. Построив совместную таблицу истинности, получаем следующий результат:

р

Я

Q

?=>-»<7

pvq

и

и

л

л

л

и

л

и

и

и

л

и

л

и

и

л

л

и

и

л

Чему равняется вероятность заключения самого по себе? Из четырех строк таблицы формула р vq принимает значение «истина» в двух. Значит, т = 2, п = 4. Вероятность высказывания «Виновен либо Петров, либо Иванов» определяется по формуле: Р (р vq) = 2/4, т.е. 1/2.

Чему равняется вероятность р v q при условии истинности р э -iq? По таблице видно, что формула р э принимает значение «истина» в трех строчках из четырех. Значит, его вероятность равняется: Р (pz> ->q) = 3/4. А вместе обе формулы z> -q и pvq) — оказываются истинными лишь [1]

в двух строчках из четырех, т.е. их «совместная вероятность» равняется: Р[(рз-1^)&(р у q) = 2/4. Поделив 2/4 на 3/4, получаем 2/3, т.е. данное умозаключение достаточно правдоподобно, поскольку 2/3 > 1/2 (число 2/3 можно получить проще: посылка истинна в 3 случаях, и в 2 из этих 3 случаев истинным оказывается и заключение, т.е. его условная вероятность равна 2/3).

Карл Гемпель (1905-1997)

С понятием логического подтверждения гипотезы фактами связан так называемый парадокс Гемпеля. Рассмотрим высказывание («теоретическую гипотезу») «Все вороны черные». Разумеется, эмпирическое наблюдение каждой черной вороны служит подтверждающим эту гипотезу свидетельством. Но согласно правилу противопоставления предикату в классической силлогистике, утверждение «Все вороны черные» эквивалентно тезису «Всё, что не черное, — не ворона». Стало быть, наблюдение рыжих коров, зеленой травы, коричневых столов и т.д. — все это в той же мере подтверждает исходную гипотезу. Как говорится, можно собирать свидетельства в пользу тезиса «Все вороны черные», не выходя из дома — просто созерцая в своей комнате нечерные предметы, не являющиеся воронами. Парадокс Гемпеля вскрывает рассогласование между чисто логическим и содержательно-научным понятиями подтверждения гипотезы и призван стимулировать уточнение концепта «релевантный факт».

Выполните упражнение 1 из Практикума.

  • [1] Запись Р (X) означат вероятность X самого по себе, запись Р (X/Y) — вероятность Xпри условии Y.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >