Полная обобщающая индукция

Полная индукция по методу обоснования вывода делится на математическую и эмпирическую.

Математическая индукция — характерный способ рассуждения, часто используемый в дедуктивных науках (логике и математике). Он применяется в тех случаях, когда исследуемый класс S задан индуктивным определением.

Напомним нашим читателям, что индуктивное определение состоит в том, что первоначально некоторые объекты прямо объявляются принадлежащими данному классу S. Все же остальные объекты порождаются из исходных с помощью каких-либо процедур fx, Чтобы доказать

наличие у всех предметов класса S свойства Р, применяют следующую схему рассуждения (V — знак квантора «все»; Р(х) означает, что х обладает свойством Р):

  • 1. Р(хх) — базис индукции.
  • 2. S = {хх,f(xx), i)} — индуктивное определение класса S.
  • 3. VxV/;(P(x) => P(fj(x)) — индуктивный шаг.

Ух (5(х) Z) Р(х)) — индуктивное обобщение.

Допустим, нам надо доказать, что все четные числа делятся на два. Воспользуемся индуктивным определением класса четных чисел: (1) 2 есть четное число, (2) все остальные четные числа получаются с помощью применения к двойке операций «f(x) = х + 2» или «/^(л;) = х -п раз. Базис индукции очевиден: 2 делится на два. Индуктивный шаг состоит в том, что если некое число х делится на два, то х + 2 и х - 2 тоже делятся на два. Как только это будет доказано, можно сделать вывод: все четные числа делятся на два.

Математическая индукция дает достоверное знание. Всеобщность вывода определяется здесь знанием законов порождения исследуемого класса объектов.

Полная эмпирическая индукция достигает всеобщности вывода другим путем — сплошной эмпирической (опытной) проверкой исследуемого класса. Логическая схема этого способа рассуждения такова:

Студентка мехмата рассказывает подруге: «В детстве мама запрещала мне разговаривать с неизвестными. Поэтому уравнения приходилось решать молча».

Разумеется, рассмотренный выше пример с кавалерами нескольких Золотых Звезд — это эмпирическая индукция. А вот еще одно подобное рассуждение — история про Ходжу Насреддина:

«Ходжа, ты уверен, что купил не отсыревшие спички?» — «Конечно!» — «А откуда ты это знаешь?» — «Я проверил каждую из них — все горели хорошо». Очевидно, что данное рассуждение не только правдоподобно, но и достоверно. Хотя вряд ли можно согласиться с тем, что такая педантичная проверка имела смысл.

Достоверность заключения по полной обобщающей эмпирической индукции определяется тем, что условная вероятность вывода при данных посылках равна 1 — ведь множество исследованных предметов М совпадает с классом 5, о котором идет речь в заключении. Этот факт дает право некоторым исследователям (в частности, В. И. Маркину и В. А. Бочарову) трактовать такие рассуждения (в которых посылка М = S прописана явно) не как индуктивные, а как дедуктивные. И в обосновании этими авторами данного факта есть очень сильная сторона: заключение в этом случае фактически следует из посылок, что характерно именно для дедуктивных рассуждений. С этим трудно не согласиться. Но примирить эти позиции (т.е. рассматривать рассуждения типа полной эмпирической индукции как разновидность именно правдоподобных рассуждений) можно удалением из схемы вывода посылки п + 1 в качестве собственно посылки и заменой ее на «комментарий к выводу»: «Классы М и S де-факто совпадают» (иными словами, в этом случае информация о совпадении этих классов объявляется фактической, а не логической}).

Полная эмпирическая индукция является ограниченным познавательным приемом.

В корне ошибаются чаще всего математики. Математики шутят. URL: http://pikabu.ru/ story/matematiki_ shutyat_764418

Во-первых, она может применяться лишь в тех случаях, когда класс S конечен и легко обозрим. Так, чтобы доказать полной индукцией, что все рыбы дышат жабрами, пришлось бы выловить всех рыб, а это в принципе невозможно.

Во-вторых, даже если класс S конечен, сплошная его проверка иногда требует таких огромных затрат, на которые общество не может пойти. Например, для установления того, что все граждане страны испытывают единодушное согласие по поводу какого-то важного государственного вопроса, можно провести поголовное голосование — референдум. Однако эта процедура требует больших затрат времени, материальных и людских ресурсов. Наконец, сплошная проверка бывает неприемлемой в силу того, что ведет к уничтожению проверяемого предмета (как в примере с Ходжой Насреддином).

Выполните упражнение 2 из Практикума.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >