Принцип индифферентности в теории вероятности и ошибки, связанные с его неадекватным применением

Часто используемый в теории вероятности принцип индифферентности гласит: если у нас нет никаких оснований предпочесть одно из п взаимоисключающих событий другому (а одно из них должно обязательно произойти), то каждому из этих событий приписывается вероятность 1 /п.

Пример. Имеется обычная игральная кость. Все ее грани одинаковы, нет никаких причин, чтобы предпочесть одну из них другой. Поэтому вероятность выпадения каждого конкретного числа очков равна 1/6.

Однако некритическое применение принципа индифферентности может приводить не только к софизмам типа «Я могу завтра либо встретить летающего динозавра на улице, либо не встретить. Обстоятельств, которые могли бы заставить меня как-то ранжировать эти альтернативы, я не знаю. Стало быть, вероятность для меня завтра встретить на улице летающего динозавра равна 1/2. Рассуждая аналогичным образом, вероятность встретить на улице нелетающего динозавра тоже равна 1/2. Поэтому вероятность завтрашней встречи на улице с динозавром равна 1/2 + 1/2 = 1», но и к действительно серьезным и грубым методологическим ошибкам.

Рассмотрим такой пример. Имеются четыре карты — две красной масти и две черной, лежащие вверх рубашками. Выберем наугад две карты и положим на них монетки. С каким коэффициентом стоит заключать пари на то, что обе эти карты (после переворачивания) окажутся одного цвета?

Математикам и логикам хорошо известен тот примечательный факт, что многие даже образованные люди совершенно серьезно считают вероятность совпадения масти карт равной 1/2 («Либо обе карты черные, либо обе красные, либо первая черная, а вторая красная, либо наоборот, и нас устраивают два случая из четырех») или, в крайнем случае, 2/3 («Карты либо обе черные, либо обе красные, либо они разного цвета, и нас устраивают два случая из трех»), т.е. можно смело ставить 1:1 или даже 2:1 (во втором варианте решения).

Выполните упражнения 21—22 из Практикума.

Иногда встречается и такая ошибка. Пусть в урне находятся шары трех цветов — синего, красного и зеленого, но сколько их всего и сколько каждого цвета, неизвестно. Какова вероятность того, что вынутый наугад шар окажется синим? Принцип индифферентности говорит о том, что эта вероятность 1/2 (он может оказаться синим, а может и не оказаться). Тогда вероятность того, что он не окажется синим, тоже 1/2. Но если шар не синий, то он либо красный, либо зеленый. Поскольку выбрать между этим альтернативами мы не можем, мы должны приписать каждому из этих случаев вероятность 1/4. Но если начать рассуждение нс с синих шаров, а с красных, получится, что вероятность вытащить красный шар магическим образом вырастает с 1/4 до 1/2.

Блез Паскаль (1623-1662)

Именно принцип индифферентности используется в знаменитом «доказательстве» бытия Бога, предложенном великим математиком, физиком и философом, крупнейшим специалистом по теории вероятности Блезом Паскалем. Его аргументацию по традиции называют «пари Паскаля». «Если Бог есть, то ставя против него (отрицая Его бытие, выбирая атеизм), можно проиграть все, а ставя на него (т.е. выбирая веру), можно выиграть все (бессмертие). Если Бога нет, то ставя на него, мы ничего не теряем. Поэтому стоит ставить на Бога».

С подобными мотивами связан и так называемый ложный вывод Монте-Карло. Предположим, что при бросании монеты десять раз подряд выпала «решка» (это случается в среднем один раз из 1024). Психологически кажется, что вероятность выпадения «орла» повышается с каждой новой решкой (имеется даже аргументация: «Поскольку двенадцать решек менее вероятны, чем одиннадцать, а одиннадцать менее вероятны, чем десять, вероятность выпадения орла с одиннадцатого раза больше, чем с десятого, а с двенадцатого больше, чем с одиннадцатого»), Разумеется, это не так. Вероятность того, что монета упадет орлом, всегда равна 1/2 (испытания независимы). Но, конечно же, отсюда не следует, что 11 решек имеют такую же вероятность, как и 10. «Парадокс» Монте-Карло связан с тем, что «человек не осознает на интуитивном уровне того факта, что вероятность желаемого исхода не зависит от предыдущих исходов случайного события» («Википедия», статья «Ошибка игрока»).

  • — Так, кто это у вас?
  • — Да ненормальный какой-то... Утверждает, что он священнослужителей изобрел...
  • — Как это?

Подходят к мужику, вытаскивают кляп, мужик кричит:

Я ИЗОБРЕТАТЕЛЬ ПОПОВ! Я ИЗОБРЕТАТЕЛЬ ПОПОВ!!!

Другой формой представления гой же идеи является «парадокс закономерности». Представим себе двух игроков. Первый из них втайне от второго 10 раз подряд подбрасывает монету и записывает на одном листе бумаги результаты.

Затем он берет второй лист бумаги и пишет произвольную последовательность десяти возможных исходов. Затем эти оба листа предъявляются второму игроку, задача которого — угадать, на каком листе записаны результаты реальной серии. Ясно, что если он выбирает лист случайно, вероятность его победы 1/2. Теперь предположим, что на первом листе стоит РООРРО- РООР, а на втором — РРРРРРРРРР. Спрашивается, можно ли утверждать, что, выбрав первый лист, второй игрок повышает свои шансы на победу (так как «выбирает более реалистический расклад»)? Не стоит забывать, что все конкретные расклады равновероятны и десять решек с точки зрения теории вероятности ничем не экзотичнее обычной последовательности типа той, что мы привели в пример записи на первом листе чуть выше. А если монета кидается не 10, а 100 раз и на втором листе сто раз подряд записана буква «Р»? «Большинство людей, увидев явную закономерность в результатах серии испытаний, будут склонны считать, что испытания не являются случайными, потому что появление этой последовательности в случайных испытаниях является маловероятным событием. Однако появление любой другой последовательности в случайных испытаниях является настолько же маловероятным» («Википедия», статья «Парадокс закономерности»). Решение состоит в разграничении «чисто вероятностного процесса и процесса вполне сознательного выбора человека из того, что написано другим человеком». Кроме того, ясно, что запись на одном из листов является результатом также сознательного выбора этого другого человека (этот парадокс похож на тест Тьюринга, не так ли?[1]).

  • [1] О тесте Тыоринга можно прочитать здесь: «Могут ли машины мыслить?» URL: http://www.logic-books.info/sites/default/files/00a-mogut_li_mashiny_myslit-2_stranicy.doc.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >