Основные характеристики одномерных количественных данных

Для того чтобы изучать какие-то переменные и сравнивать их между собой, необходимо уметь рассчитывать основные числовые характеристики признаков.

Характеристики центра группирования данных Средние величины

Средние представляют собой обобщающие показатели, характеризующие центр группирования данных.

Как правило, рассматривают средние: арифметическую, гармоническую и геометрическую.

Вид средней выбирается согласно определяющему свойству: значение определяющей функции ф(лг,, х2,..., х„) не изменится, если исходные данные заменить средней.

Пример 4.5

Фонд оплаты труда п работников х... х„ можно представить как^д и как х • п,

i-1

где х — средняя заработная плата п работников. Тогда Получаем среднюю арифметическую:

Если данные сгруппированы, т.е. заработную плату х: получают mt работников,

к

где 1=1,2.....k и п = Yjmp т-е-

i=i

го получается средняя арифметическая взвешенная

Пример 4.6

В единицу времени п рабочих изготовляют соответственно х,, х2,..., х„ изделий. Определите среднюю производительность труда п рабочих.

Суммарное время изготовления п изделий п рабочими равно:

Определяющее правило: суммарное время изготовления рабочими п изделий не изменится, если все х; заменить на х.

Отсюда получается средняя гармоническая.

Пример 4.7

Пусть за время пути автомобиль mt километров проехал со скоростью X/, где /= 1,2,..., k. Определите среднюю скорость автомобиля за все время пути.

Определяющее правило: общее время в пути не изменится, если фактическую скорость X) заменить на среднюю.

Из определяющей функции следует: суммарное время равно:

Тогда получается средняя гармоническая взвешенная:

Пусть .г,, х2,...,х„ — темпы роста объема производства за п лет, требуется определить средний теми роста.

Определяющее правило: произведение темпов роста не изменится, если все xit

п и

х2,..., хп заменить па средний темп роста хптл, т.е. выполняется условие П х. - О »

<ж| /=1

тогда имеет место средняя геометрическая’.

Если данные сгруппированы, то получается средняя геометрическая взвешенная

Средние геометрические используют при анализе временных данных. Из рассмотренных средних наибольшее распространение па практике имеет

1 п

средняя арифметическая х = —^хг Рассмотрим подробнее ее свойства.

п ы I

  • 1. Средняя арифметическая постоянной величины равна самой постоянной. Пусть Xj = с для всех г = 1,2,..., п. Тогда, подставив с вместо х{ в формулу средней, легко получим х = Я
  • 2. Если ко всем значениям хх прибавить постоянную с, то средняя арифметическая изменится на эту постоянную, т.е. х + с = х + с.

В самом деле,

3. Если все значения хх умножить на постоянную с, то средняя арифметическая изменится в с раз, т.е

4. Средняя арифметическая от линейной функции равна линейной функции от средней арифметической

где а и с — постоянные величины. В самом деле,

На раскрой каждого из восьми костюмов на фабрике затрачено соответственно 60, 55, 50, 52, 45, 49, 58 и 46 минут. Определите среднюю арифметическую.

Среднее арифметическое для несгруппированных данных вычисляется по формуле (4.2):

Пример 4.10

Па основе интервального вариационного объема производства предприятий легкой промышленности, представленного в таблице ниже, вычислите среднее арифметическое.

Объем производства, уел. ед.

102-104

104-106

106-108

108-110

110-112

Количество предприятий

7

14

13

9

7

Среднее арифметическое для сгруппированных данных — интервального ряда — вычисляется но (4.3):

Другие характеристики центра группирования Медиана — знамение признака, приходящегося на середину вариационного ряда.

Например, при п = 5 имеем < х,2) ^ ^ < х/5ч и Me = хМе = х@у

Если число наблюдений нечетное, п = + 1, где р = 1, 2, то Me = xmed = x(p+iy

Если число наблюдений четное, п = 2р, то Me = xmed = = р р . Например, при п = 6, xmed = —;—-——.

Для интервального вариационного ряда медианным называют первый интервал Ме; ЬМе), для которого накопленная частота превышает ноло-

п

вину объема наблюдений, т.е. :

Здесь: тН)г тН){2, ..., ш/(//) =m^[)+w/, ..., т[Н) =п, т.е. тН) =

V1 (Н)М(Н) м

= J/nl=n И <-;

где аМе нижняя граница медианного интервала; т^_{ накопленная частота интервала, предшествующего медианному; h = (bt -at) — ширина интервала группирования.

Свойство медианы, сумма абсолютных отклонений признака от Me меньше, чем от любой другой величины

Мода — наиболее часто встречаемое значение признака.

Для интервального сгруппированного вариационного ряда мода

где аМо нижняя граница модального интервала (рис. 4.14); тМо частота модального интервала; тМо Х частота интервала, предшествующего модальному; т.. . — частота интервала, следующего за модальным.

Модальный интервал

Рис. 4.14. Модальный интервал

Пример 4.11

На раскрой каждого из 8 костюмов на фабрике затрачено соответственно 60, 55, 50, 52, 45, 49, 58 и 46 мин. Определите медиану.

Данные не сгруппированы. Для определения медианы построим вариационный ряд.

60

55

50

52

45

49

58

46

Вариационный ряд

45

46

49

50

52

55

58

60

Число наблюдений четно, поэтому медиана находится как среднее арифметическое двух средних значений:

На основе интервального вариационного ряда объемов производства предприятий легкой промышленности, представленного в таблице примера 4.10, вычислите моду и медиану.

Объем производства, уел. ед.

102-104

104-106

106-108

108-110

110-112

Количество предприятий mi

7

14

13

9

7

Накопленная частота тН)

7

21

34

43

50

По вариационному ряду мода и медиана рассчитываются по формулам (4.8), (4.9).

Модальный интервал здесь — [104; 106], так как т2 = 14 — наибольшая

Медианный интервал — [ 106; 108], так как т^!1) = 34 > ^ = 25;

Формулы для расчета основных характеристик центра группирования данных приведены в табл. 4.12.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >