Определение вида зависимости у от х

После того, как с помощью корреляционного анализа выявлена степень тесноты статистических связей между переменными, как правило, переходят к определению вида зависимостей с использованием уравнения регрессии. С этой целью подбирают класс функций, связывающий результативный признак у и аргумент х. Термин «регрессия» (лат. — regression — отступление, возврат к чему-либо) введен английским психологом и антропологом Фрэнсисом Гальтоном и обусловлен спецификой примера, в котором это понятие было впервые использовано. Так, обрабатывая статистические данные в связи с анализом наследственности роста,

Ф. Гальтон нашел, что если отцы отклоняются от среднего роста всех отцов на х дюймов, то их сыновья отклоняются от среднего роста всех сыновей меньше, чем на х дюймов. Выявленная тенденция была названа «регрессией к среднему состоянию». С тех пор термин «регрессия» широко применяется в статистической литературе, хотя во многих случаях он недостаточно точно характеризует понятие статистической зависимости.

Для описания уравнения регрессии в статистической практике главным образом ограничиваются поиском подходящих аппроксимаций для неизвестной функции регрессии /(х). Пусть имеется п наблюдений (х,, */,), (х₂,у₂), ..., (х_и, у_п). Требуется по этим двумерным данным определить /(х). На основании предварительного анализа исследуемого явления предполагается, что в «среднем» у есть линейная функция отх. Таким образом, предполагается, что зависимость у отх корреляционная и линейная, т.е. у = Ь₀ + Ь_{х.

Задача определения вида зависимости сводится к нахождению параметров Ь₀ и Ь_х уравнения регрессии. Для этого в основном используют метод наименьших квадратов, где в качестве параметров фигурируют такие значения, которые минимизируют сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений г/_; от расчетных у.

Рис. 5.4. Построение линейного уравнения регрессии

Разделив на п левую и правую части обоих уравнений, запишем

Отсюда

Поставив выражение Ь₀ во второе уравнение, имеем

На основании двумерных данных получили количественное представление зависимости у от х вида у - Ь₍₎+ Ь_{х.

Здесь Ь₀ — свободный член уравнения, характеризующий среднее значение у при х = 0. Как правило, содержательно не интерпретируется.

Коэффициент регрессии Ь_{ показывает, на какую величину в среднем изменится у, если х увеличить на единицу его измерения.

Адекватность уравнения регрессии исследуемому явлению описывается остаточной дисперсией:

В линейной модели у = Ь₀+ Ь_кх коэффициент регрессии связан с коэффициентом корреляции следующим соотношением:

а в уравнении регрессии х по у, когда х = Ь'_п + Ь'у , имеет место функциональная зависимость между средним значением х и переменной у.

Отсюда следует, что ЬЬ - г², а знаки коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции совпадают. Квадрат коэффициента корреляции г² называют коэффициентом детерминации. Он характеризует долю дисперсии у, объясняемой влиянием х.

Пример 5.4

По данным годовых отчетов десяти (п = 10) машиностроительных предприятий построить уравнение регрессии, характеризующее зависимость производительности труда у (тыс. руб. на чел.) от объема производства х (млн руб.). Предполагается, что уравнение регрессии линейно и имеет вид у = Ь₀+ 1х. Исходные данные для анализа представлены в табл. 5.2.

10

Решение. Согласно (5.11), учитывая, что ?хд = 666,5, получим

Исходные данные и результаты расчетов

Номер предприятия (0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	2,1 2,8 3,2 4.5 4.8 4.9 5.5 6.5 12,1 15,1	3 4 5 5 5 5 6 7 15 20	9 16 25 25 25 25 36 49 225 400	20.25 12.25 6.25 6.25 6.25 6.25 2.25 0,25 56.25 156.25	2.77 3,52 4.27 4.27 4.27 4.27 5,02 5.77 11,75 15,50	-0,67 -0,72 -1,07 0,23 0,53 0,63 0,48 0,73 0,35 -0,4	-31,9 -25,7 -33,4 5,1 11,0 12.9 8,7 11,2 2.9 -2,6
								Сумма	61,5	75	835	272,5	-	-
								Средняя	6,15	7,5	83,5	-	-	-

Таким образом, оценка регрессии будет иметь вид у = Ь₀+ Ь_{х. После подстановки окончательно запишем у = 0,502 + 0,753*.

Из уравнения регрессии следует, что при увеличении объема производства на единицу его измерения производительность труда в среднем увеличивается на 0,753 тыс. руб.

Для интерпретации модели можно также воспользоваться коэффициентом эла-

х 7 5

стичности, значение которого е, = Ь, — = 0,753—-— = = 0,918 показывает, что при уве-

¹ ' у 6,15

личении объема производства * на 1% производительность труда у в среднем увеличится на 0,918%.

Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии и рассчитаем остаточную дисперсию 5², абсолютные e_i = у. - у. и относительные

е.

8. = —100% ошибки аппроксимации. Остаточная дисперсия равна Уг

Теперь среднюю относительную ошибку аппроксимации вычислим, как

где 15, | ^— абсолютное значение относительной ошибки аппроксимации. Среднее значение относительной ошибки 14,54% говорит о том, что наша модель достаточно хорошо согласуется с исходными данными.

Самую низкую эффективность но производительности труда, как следует из табл. 5.2, имеет третье предприятие. У этого предприятия производительность труда г/₃ = 3,2 тыс. руб. на человека, что на 33,4% ниже того, что имело бы «среднее» предприятие с объемом производства *₃ = 5,0 млн руб. По производительности труда лучшим признается шестое предприятие, у которого этот показатель на 12,9% выше среднего значения по рассматриваемым предприятиям при * = 5.