Вывод Эйнштейном закона излучения Планка и предсказание спонтанного и вынужденного излучений

Сразу после появления гипотез Бора Эйнштейн, в отличие от многих других физиков, дал им высочайшую оценку. Неудивительно, что Эйнштейну первому удалось совместить идеи Бора со своими собственными идеями о дискретности электромагнитного излучения (как было указано в гл. 3, не разделявшимися абсолютным большинством физиков, в том числе и Бором, вплоть до 1924 года). На этом пути Эйнштейн добился в 191G году выдающихся успехов: во-первых, вывел закон излучения Планка логически непротиворечивым способом, и во-вторых, углубил представления о взаимодействии излучения с веществом, открыв при этом два вида излучения атомов, что позволило объяснить природу фраунгоферовых линий и явления обращения спектров, открытого Кирхгофом, а в конце концов привело к рождению квантовой радиофизики, квантовой электроники, созданию мазеров и лазеров.

Вспомним одно из центральных событий в истории физики — открытие Планком в 1900 году постоянной Планка h, совер- шенное по счастливому стечению обстоятельств.

Вспомним также, что закон излучения (3.155) Планк по-су- ществу угадал, интерполируя экспериментальные данные, а затем лишь дал интерпретацию этого закона на основе формулы (3.15G), закона смещения Вина и предположения о дискретности энергетического спектра материальной системы — заряженного гармонического осциллятора. Интерпретация и позволила Планку открыть новую мировую постоянную, без чего не было бы построено здание современной физики.

Однако Эйнштейн в 190G году указал, что интерпретация

Планка с логической точки зрения несостоятельна, так как вывод формулы (3.156) (см. приложение 3) опирался на законы классической механики и электродинамики, допускавшие любые значения энергии гармонического осциллятора, а затем Планк предположил, что осциллятор не описывается классическими законами, выдвинув оказавшуюся совершенно справедливой гипотезу о том, что гармонический осциллятор имеет эквидистантный дискретный энергетический спектр, то есть предвосхитил первую гипотезу Бора.

Логический провал планковского подхода и ликвидировал в 1916 году Эйнштейн. Вот существо рассуждений Эйнштейна, опиравшегося на свою фотонную гипотезу и на гипотезы Бора.

Равновесное тепловое излучение в полости в конечном счете формируется как равновесное состояние обмена энергией между веществом и излучением, так как последнее поглощается и пе- реизлунается, причем, как было установлено в подразделе 3.2.2, итоговое состояние излучения не зависит от того, какое вещество находится внутри полости.

Эйнштейн рассмотрел равновесное тепловое излучение температуры Т в полости с произвольными стенками, а также разреженный газ[1] [2] из одинаковых молекул33 * в том же объеме. Допустив, что молекула может иметь два невырожденных31 дискретных значения внутренней энергии ? и ?*2, к молекулам можно применить распределение Больцмана, в соответствии с которым количество молекул N в состоянии ? будет пропорционально exp [—?/(кТ)], а N2 в состоянии ?2 будет пропорционально ехр [-?-2/(кТ), так что

Далее Эйнштейн, зная ответ, к которому стремился (закон излучения П ланка), ввел такие гипотезы о характере взаимодействия излучения с веществом, которые помогли получить ему нужный результат.

Во-первых, Эйнштейн ввел представление о спонтанном излучении. Пусть молекула находится в состоянии ?2 > ?1, тогда она стремится перейти в низшее энергетическое состояние ?1,

испустив при этом фотон, энергия которого в соответствии с законом сохранения энергии определится выражением

Тем самым Эйнштейн ввел в физику представление о недетерминированном поведении возбужденной молекулы или атома, аналогичное представлению о недетерминированном поведении радиоактивных ядер: неизвестно, через какое время после возбуждения (то есть после перехода из состояния ? в состояние ?2) конкретная молекула релаксирует (вернется в низшее состояние, а если низших состояний несколько, то неизвестно, в какое состояние молекула вернется). Последнее означает, что исход релаксации для единичных атомов и молекул принципиально не предопределен (то есть случаен и непредсказуем), можно указать лишь вероятность релаксации возбужденной частицы за бесконечно малый промежуток времени dt.

Это и был ответ Эйнштейна на вопросы Резерфорда, заданные Бору в связи с его гипотезами: процесс релаксации недетерминированный, и его исход определяется лишь вероятностно.

Эйнштейн ввел представление о плотности вероятностьг5 Л2_»1 спонтанного перехода в низшее состояние, так что количество молекул, релаксирующих за время dt, определится выражением

то есть произведением вероятности перехода A2^dt за время dt на количество возбужденных молекул.

Вводя гипотезы о характере взаимодействия излучения с веществом, Эйнштейн фактически исходил из аналогии, рассматривая поведение в электромагнитном поле заряженного гармонического осциллятора (классического) Планка. Даже в отсутствие внешнего излучения осциллятор неизбежно теряет энергию за счет собственного излучения. Однако если осциллятор находится в равновесии с внешним полем, то он может как увеличивать свою энергию, так и уменьшать ее при взаимодействии, что зависит от фазы электромагнитной волны, тормозящей или ускоряющей осциллятор. В соответствии с последним Эйнштейн ввел представление об индуцированном, или вынужденном поглощении и об индуцированном, или вынужденном испускании, при- 35 [3]

чем количество молекул, вынужденно релаксирующих, но Эйнштейну должно определяться формулой

а количество молекул, вынужденно возбуждающихся, должно определяться аналогичной формулой

где В-ь2 и В'2—* — коэффициенты вероятности Эйнштейна для индуцированных поглощения и испускания соответственно, a uj определяется соотношением (4.19), то есть второй гипотезой Бора, отражающей закон сохранения энергии для процессов поглощения или испускания фотонов молекулами и атомами.

Итак, по Эйнштейну, индуцированные переходы так же неде- терминированы, как и спонтанные, но их вероятности пропорциональны спектральной компоненте плотности энергии излучения (в месте нахождения молекулы) на частоте центра спектральной линии. Далее остались лишь несложные расчеты.

Используя принцип детального раонооееия, уже применявшийся в подразделе 3.2.2, следует считать количество молекул, возбуждающихся за время dt, равным количеству релаксирующих молекул. Количество же последних определяется суммой вероятностей независимых процессов — спонтанного и вынужденного испусканий. Следовательно, имеем

Решая последнее уравнение относительно величины иш(ш* Т) с учетом уравнения (4.18), получаем

Ход дальнейшей мысли Эйнштейна ясен: чтобы в знаменателе (4.24) получилась exp(huj/k.T) — 1, нужно положить

после чего нужно положить еще

и вывод закона излучения Планка (3.155) на основе фотонных представлений завершен.

Таким образом, Эйнштейн вывел закон излучения Планка, введя оказавшиеся совершенно справедливыми гипотезы о характере взаимодействия фотонов с атомами и молекулами.

Действительно, фотоны, независимо от того, "тепловые" они или пет, если их энергия удовлетворяет условию частот Бора, то есть уравнению (4-19), должны взаимодействовать с обладающими дискретными внутренними энергиями атомами и молекулами так, как это предположил Эйнштейн, то есть вызывать вынужденное испускание или вынужденное поглощение.

Позднее коэффициенты Эйнштейна были вычислены в рамках квантовой электродинамики, и гипотеза Эйнштейна была подтверждена, хотя сам он был уверен в своих результатах, отметив в статье "Испускание и поглощение излучения по квантовой теории" (1910 год), что пришел "к выводу, который говорит сам за себя благодаря своей простоте и общности".

В частности, для так называемых "разрешенных" переходов[4], ведущих к появлению фотонов в видимой части спектра, величина коэффициента Эйнштейна для спонтанной релаксации имеет порядок величины

что соответствует "периоду полураспада" возбужденного состояния около 7 нс.

Действительно, если внешние фотоны отсутствуют, то скорость убыли возбужденных атомов определяется уравнением dN/dt = —AN, решение которого имеет вид N = Noexp(-At). Нетрудно видеть, что через промежуток времени 7/2 = (In 2)/А число возбужденных атомов уменьшится в два раза по сравнению с начальным количеством Nq.

Завершая обзор работы Эйнштейна, следует отметить два обстоятельства. Во-первых, несмотря на то, что и спонтанные, и вынужденные процессы в равной степени недетерминированы, между ними существует разница, возникающая при учете импульса фотона.

Спонтанное испускание недетерм и пировало и по отношению к импульсу: "спонтанный" фотон может выть ]>авповероят- по испущен о любом направлении, то есть спонтанное излучение изотропно, чего нельзя сказать о вынужденном излучении, поскольку импульс вынужденно испущенного фютопа в точности равен импульсу вынуждающего испускание фотона. Последнее свойство вынужденного излучения привело почти через 40 лет после его открытия Эйнштейном к созданию мазеров и лазеров.

Решение проблемы равновесного теплового излучения, поставленной Кирхгофом еще в I860 году, принесло физике открытия величайшей важности: мировую постоянную (Планк, 1900 год), открытие дискретности энергетического спектра гармонического осциллятора (Планк, 1900 год), открытие существования фотонов (Эйнштейн, 1905 год) н открытие законов взаимодействия излучения с веществом (Эйнштейн, 191G год).

При этом Планк дважды угадал — правильные закон излучения (3.155) и формулу (3.15G). Первый раз Планку помогли экспериментальные данные, а второй раз — чистое везение да принцип соответствия, по которому квантовые законы природы переходят в классические, что не исключает возможности одной и той же формуле выполняться н в квантовой, и в классической областях.

Именно такая история случилась с классической формулой (3.156), полученной Планком. Эйнштейн показал, что ее левая часть — это закон излучения Планка (3.1GG), а Планк (на основании гипотезы о гармоническом осцилляторе) — что ее правая часть равна тому же выражению. Следовательно, формула (3.15G) выполняется и в квантовой, и в классической физике. Эффект Доплера также описывается одним выражением как при классическом рассмотрении, так и при квантовом, как это было показано в подразделе 3.4.3.

Гипотеза Эйнштейна о спонтанных н вынужденных переходах привела к пониманию механизма возникновении интенсивности спектральных линий в спектрах поглощения и испускании. Действительно, если излучает макроскопический объект (илами свечи, электрическая дуга или искра), то громадное число актов испускания ведет к возникновению спектральных линий, unmencuetiocmu которых, очевидно, пропорциональны вероятностям перехода атома с одного уровня на другой. Таким обрмзом, макроскопический процесс является практически детерминированным несмотря на то, что элементарные акты испускания и поглощения — недетермшшрованпые.

Описанные выше результаты Эйнштейна стали ключом к количественному объяснению явления обращения спектральных линий, открытого Кирхгофом.

О резонансной лампе Вуда и механизме обращения спектральных линий

Разберем действие оригинального монохроматора излучения, созданного американским физиком Р. Вудом и "механизм" обращения спектральных линий на примере желтой D-линии натрия, являющейся дублетом.

Длины волн дублета около 5890 А (см. с. 9), что соответствует энергии фотона hu) = 2.11 эВ.

Поскольку D-линия натрия является первой в главной серии, это означает, что за возникновение этой линии отвечают переходы между основным состоянием атома натрия и первым возбужденным состоянием: hui = ?> — ? .

Начнем со сравнения вероятностей спонтанной и вынужденной релаксации для атома натрия в разных условиях, для чего предварительно учтем, что формулы для вероятности спонтанного и вынужденного испускания атома (4.20) и (4.21) Эйнштейн получил, рассматривая равновесное тепловое излучение, однако ясно, что те же формулы должны сохранить свой вид и для источника внешнего излучения любой природы, когда атомы не обязаны находиться в равновесии с излучением, а само излучение не обязано быть равновесным тепловым.

Действительно, нет никаких оснований утверждать, что атом может "узнать", какова природа источника, создавшего в месте нахождения атома излучение со спектральной компонентой плотности энергии иш. Тогда отношение вероятностей спонтанного и вынужденного излучения атома (при переходе между любыми невырожденными уровнями энергии ?„, и ?т), когда атом находится в месте, где спектральная компонента плотности эне!>- гии внешнего излучения на частоте hio — ?п — ?т есть будет равно:

где были использована формула (4.26) для отношения коэффициентов Л 2-Д и #2-и

В том частном случае, когда атомы находятся в термодинамическом равновесии с равновесным тепловым излучением температуры Т, то, подставляя в формулу (4.27) выражение для иШ1 следующее из закона излучения Планка (3.166), получим:

Подставляя в правую часть (128) flu = 2.11 эВ и температуру поверхности Солнца Т ~ 6000 К, получаем для отношения вероятностей спонтанного и вынужденного испускания фотонов атомами натрия (находящихся вблизи солнечной поверхности) приблизительно 58: из каждых 59 атомов натрия, возбужденных во второе разрешенное состояние, 58 атомов испускают фотон спонтанно, и лишь один атом — вынужденно. Можно сказать и так: даже спектральной плотности энергии излучения иш(и>, Т) на поверхности Солнца недостаточно, чтобы сделать вероятность вынужденного испускания сравнимой с вероятностью спонтанного испускания37.

В земных же источниках некогерентного света спектральная плотность энергии излучения многократно ниже, чем на поверхности Солнца и, значит, многократно ниже и вероятность вынужденного испускания атомов. Так, максимальная температура пламени, которое может быть создано бунзеновской горелкой, не превышает 2000 °С. Подставив в (1.28) Т = 2 273 К, получим для D-линии натрия отношение вероятностей спонтанного и вынужденного испускания около 50000. и вынужденным испусканием можно совсем пренебречь. Другими словами, в обычных источниках света (кроме лазеров, о которых сказано ниже) абсолютно преобладает спонтанное испускание, ведущее при релаксации атомов к изотропному разлету фотонов.

Последнее обстоятельство объясняет принцип действия резонансной лампы, изображенной на рис. 4.9 и использованной американским физиком Р. Вудом для наблюдения открытой им в 1902 году резонансной флуоресценции.

Резонансная лампа (Р. Вуд, 1902 г.)

Рис. 4.9. Резонансная лампа (Р. Вуд, 1902 г.)

Вуд помещал в откачанный стеклянный сосуд кусочек металлического натрия, который нагревался до определенной температуры, и баллон наполнялся парами натрия до давления насыщения.

Например, при 100 °С давление насыщения паров натрия составляет приблизительно 10”7 Торр.

Источником излучения была бунзеновская горелка, в пламя которой вводилась поваренная соль, молекулы которой в пла- 3 *

' Нетрудно сосчитать, что на частоте D-линии натрия на поверхности

Солнца itu % 2.2 • 10-16 Джм-3Гц-1.

мени термодиссоциируют на атомы натрия и хлора. Отношение числа возбужденных на второй разрешенный уровень энергии атомов натрия к числу атомов в основном состоянии при температуре пламени 2 000 °С и ?2 — ? = 2.11 эВ составит

то есть возбуждены лишь 2 атома натрия на 100 000, и они-то и излучают спонтанно фотоны с энергией 2.11 эВ. вызывая появление яркого желтого дублета D. наложенного на непрерывный спектр теплового излучения частичек сажи (при наличии последних есть в пламени бунзеновской горелки).

Если свет пламени сфокусировать с помощью линзы на баллон с парами натрия, то пары немедленно засветятся ярким желтым светом, распространяющимся изотропно от баллона, а не направленно, как первичный луч от линзы. При достаточно высокой температуре натрия в баллоне (то есть при достаточном количестве атомов натрия на пути первичного луча) значительная часть, или вообще все первичные фотоны с энергией 2.11 эВ будут поглощены атомами натрия и переизлучены изотропно, то есть уйдут из первичного луча, что Вуд впервые и наблюдал в 1902 году, назвав явление изотропного переизлучения направленного луча резонансной флуоресценцией.

Изотропное излучение не содержит никаких других частот, кроме частоты поглощенного излучения! Баллон с натрием, в котором возбуждалась резонансная флуоресценция, назвали резонансной лампой — отличным монохроматором излучения, поскольку это относительно холодный источник излучения (дающий относительно небольшое доплеровское уширение линий испускания).

Фотоны других энергий (если они присутствуют в первичном луче) в пламени поглощаться не будут, поэтому в луче, выходящем из баллона в направлении первичного, возникнет провал в районе .D-линии, воспринимаемый визуально как темная линия поглощения, на чем основано объяснение явления обращения спектральных линий, открытого Кирхгофом в 1859 году (см. с. 11).

В последнем случае, если сквозь пламя свечи пропускается сильно ослабленный солнечный луч, пламя само по себе изотропно излучает D-линию, которая интенсивнее фона (то есть всего остального излучения за вычетом D-линии). "Солнечные" D-фотоны пламенем изотропно рассеиваются (как и в резонансной лампе), а остальное излучение Солнца сквозь пламя проходит без изменений (тоже как в резонансной лампе).

По мере роста интенсивности солнечного луча, пропускаемого сквозь пламя, в направлении луча будет нарастать интенсивность фона, которая в некоторый момент сравняется с интенсивностью D-излучения пламени, и возникнет картина классического равновесного теплового излучении (без наложенных линий и без провалов). При дальнейшем возрастании интенсивности солнечного луча, когда фон начнет существенно превосходить интенсивность D-излучения свечи, в направлении солнечного луча будет наблюдаться сравнительный провал интенсивности на месте D-линии, и воспринимаемый как фраунгоферова D-линия.

  • [1] Так что показатель преломления среды равен единице.
  • [2] Поскольку молекулы могут быть и одноатомными, то речь идет и обатомах тоже, а также об атомарных и молекулярных ионах. 3,Смысл этого термина будет разъяснен далее в настоящей главе.
  • [3] В данном случае речь идет о "временной" плотности.
  • [4] Существу ют it "запрещенные" (или "оптически запрещенные") переходы, соотвстствущие метастабильным квазистационарным состояниям атомов со значительно меньшей вероятностью спонтанной релаксации. Болееподробно об этом будет сказано далее в настоящей главе.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >