Квантование линейного гармонического осциллятора

Понимание квантовой механики приходит лишь постепенно и по мере того, как общие положения квантовой механики прилагаются к реальным физическим задачам. Сейчас уже наступил момент, когда можно показать, как "работает" квантовая механика на примере одномерного (линейного) гармонического осциллятора, то есть частицы массы т, находящейся в потенциальном поле вида П(х) = /аг/2, где / — положительная размерная силовая константа поля, в классической механике пропорциональная величине силы, действующей на частицу.

Движение линейного гармонического осциллятора в классической физике описывается вторым законом Ньютона

Решение уравнения (4.80) дает зависимости координаты и скорости частицы от времени:

"Термин "состояние" в квантовой механике является синонимом выражения "микрообъект описывается какой-то определенной волновой функцией".

где круговая частота с*; есть

При этом энергия осциллятора ? может принимать любые неотрицательные значения, определяемые начальными координатой то и скоростью vq:

Квантовая же механика дает отличное от классического описание линейного гармонического осциллятора, ничего не говорящее о том, каковы зависимости координаты и скорости микро- объекта от времени. Последние зависимости для атомных и субатомных частиц — ненаблюдаемые, и поэтому бессмысленно делать о них какие-либо заключения по щххйней мере о настоящее время100. Взамен квантовая механика дает возможность определить волновую функцию100 [1] [2] линейного гармонического осциллятора Ф(.т,t), а также, в частности, определить энергетический спектр осциллятора, который оказывается не непрерывным, как в классической физике, а дискретным, как предположил еще в 1900 году Планк, пытаясь дать обоснование закона Планка (см. гл.З, подразд.3.2.7).

Как уже указывалось выше, возможными энергиями, которые могут быть найдены у гармонического осциллятора при измерении, являются собственные значения гамильтониана линейного гармонического осциллятора

где силовая постоянная / была заменена с помощью соотношения (4.83).

В квантовой механике задача об определении собственных значений гамильтониана часто называется "проблемой квантования"[3] именно потому, что часто спектр гамильтониана оказывается дискретным. "Проквантовать" линейный гармонический осциллятор — значит определить возможные уровни энергии последнего.

Мы уже можем, вслед за Шрёдиигером, проквантовать линейный гармонический осциллятор, исходя из стационарного уравнения Шрёдингера (4.79) и естественных требований к пространственной части волновой функции, принадлежащей гиль- бертовому пространству волновых функций.

Помимо очевидного требования дифференцируемости там, где потенциальная энергия не имеет особых точек (коль скоро волновая функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению второго порядка), естественное требование к любой волновой функции заключается в том, что волновая функция должна удовлетворять условию нормировки (4.46), физический смысл которого заключается в том, что микрообъект с вероят- постъю есПтица находится где-то о пространстве. Последнее, в свою очередь, означает, что на бесконечности волновая функция должна стремиться к нулю, то есть удовлетворять условию (4.52).

Рассмотрим стационарное уравнение Шрёдингера (4.79) применительно к линейному гармоническому осциллятору. Будем искать такие его решения, которые удовлетворяют условию нормировки (4.46) и, как следствие, условию (4.52).

Раскрывая вид гамильтониана, для линейного гармонического осциллятора получаем стационарное уравнение Шрёдингера вида

Это уравнение с математической точки зрения имеет решения при любых значениях энергии ?, однако не при всех значениях энергии, как это вскоре станет ясно, математические решения описывают состояние локализованной частицы. Задача квантования в том и заключается, чтобы определить такие зна-

чения энергии частицы 8, при которых уравнение (4.86) имеет квадратично-интегрируемые решения.

Итак, приведем уравнение (4.8G) к безразмерной форме, для чего сначала найдем характерный масштаб задачи, определяемый, очевидно, величинами тп, ш и /г, из которых можно составить единственную комбинацию /, имеющую размерность длины

Введем новую независимую переменную — безразмерную координату

Переход в уравнении (4.86) от переменной х к переменной ? дает уравнение

где штрихи обозначают дифференцирование по ?. После введения безразмерной константы

получим линейное уравнение с безразмерными коэффициентами:

При произвольной величине а линейное однородное дифференциальное уравнение (4.90) не имеет решений, выражаемых через элементарные функции. Однако при а = 1 оно имеет частное решение

в чем легко убедиться непосредственной проверкой.

Попытаемся искать решения уравнения (4.90) при произвольных а, сделав замену зависимой переменной вида

Проделав несложные вычисления[4], придем к уравнению относительно функции t/(?):

Будем далее искать заведомо существующие аналитические решения линейного уравнения второго порядка (4.93) без особенности перед старшей производной в виде ряда

Подстановка ряда (4.94) в уравнение (4.93) приводит к равенству

Производя замену "немого" индекса суммирования в первой сумме (в которой суммирование фактически начинается с п = 2, так как первые два слагаемых равны нулю) в левой половине (4.95) с п на к = п — 2, получим суммирование по к от 0 до + оо:

Теперь, вновь обозначив "немой" индекс в правой сумме последнего равенства буквой п вместо буквы к, от чего значение суммы не изменится, подставя преобразованное выражение в (4.95) вместо первой суммы, а две остальные суммы в (4.95) перенеся направо, получим:

Последнее равенство двух рядов влечет за собой равенство коэффициентов при одинаковых степенях

Рекуррентное соотношение (4.96) дает возможность построить два линейно-независимых решения уравнения (4.93): одно решение — четное (если положить (щ Ф 0, ai = 0), а другое — нечетное (если положить а о = 0, а Ф 0). Для обоих решений можно оценить их поведение на бесконечности следующим образом. Из (4.9G) следует, что

Покажем, что аналогичное рекуррентное соотношение для функции ехр(?2) имеет такой же главный член, как и в формуле (4.97). Действительно, экспонента может быть разложена в ряд, сходящийся на всей действительной оси:

откуда следует, что

Сравнение рекуррентных выражений (4.97) и (4.98) позволяет понять (а более строгий математический анализ это подтверждает), что коэффициенты разложения аи функции у(?) эквивалентны коэффициентам разложения Ьп с точностью до некоторой ненулевой вещественной константы С (ап ~ СЬ„), и что функция у (О, определяемая рекуррентным соотношением (4.97), ведет себя при ? -> ±оо как С ехр (?2).

Учтя, что решения уравнения Шрёдиигера определяются выражением (4.92), получим, что они не только не стремятся к нулю, но бесконечно велики как Сехр(?2/2) при ? —» ±оо, то есть не являются квадратично интегрируемыми. Такие волновые функции, очевидно, не могут описывать вероятность обнаружения локализованной частицы.

Остается только случай обрыва ряда (4.94) на каком-нибудь члене ап+2 (где п = 0,1,2,...), который в силу рекуррентного соотношения (4.96) может обратиться в нуль, если будет выполнено условие а — 2п 4-1, п = 0,1,2,..., дающее, с учетом определения (4.89), возможные значения энергии линейного гармонического осциллятора:

Только в том случае, если энергия линейного гармонического осциллятора определяется выражением (4.99), соответствующие волновые функции будут произведениями некоторого полинома конечной степени на убывающую в бесконечности экспоненту ехр (—?2/2), то есть будут квадратично интегрируемы.

Таким образом, оказалось, что энергетический спектр линейного гармонического осциллятора — дискретный и эквидистантный. Последнее означает равенство расстояний между возможными уровнями энергии, равное планковскому кванту энергии hu).

Уровни энергии линейного гармонического осциллятора нумеруются неотрицательным целым числом п. Сюрпризом можно назвать то обстоятельство, что наименьшая энергия осциллято- ра (соответствующая основному состоянию, нумеруемому индексом п = §), весьма неудачно навиваемая "нулевой энергией", вовсе не равна нулю Квантовая механика, в отличие от механики классической (в которой минимальная энергия осциллятора равна нулю), предсказывает, что даже в наинизшем энергетическом состоянии у осциллятора остается "нулевая энергия" hujj2, которую у него невозможно отобрать!

Все предсказания, которые волновая механика дает относительно уровней энергии линейного гармонического осциллятора, проверены экспериментально и подтверждены. Например, уровни энергии гармонического осциллятора можно измерить с некоторой степенью точности, изучив колебательный спектр молекулы водорода и энергию диссоциации этой же молекулы. На рис. 4.37 представлены соответствующие результаты.

Потенциальная энергия молекулы водорода как функция межъядерного расстояния (справа) и колебательные уровни энергии (слева)

Рис. 4.37. Потенциальная энергия молекулы водорода как функция межъядерного расстояния (справа) и колебательные уровни энергии (слева)

В молекуле водорода прогоны могут находиться на различных расстояниях х друг от друга. Зафиксировав расстояние х и вычислив (тоже методами квантовой механики) внутреннюю энергию двух электронов в поле двух неподвижных протонов, правомерно в первом приближении (называемым приближением Борна—Оппенгеймера, действенным потому, что ядра значительно тяжелее электронов и движутся много медленнее последних, в результате чего электроны всегда успевают создать конфигурацию, "подстроенную" под текущее межъядерное расстояние) полученную таким образом функцию П(.т) считать потенциальной энергией молекулы.

Как следует из рисунка, минимум потенциальной энергии достигается при расстоянии между протонами х = 0.74 А. При меньших расстояниях преобладает эффект кулоновского расталкивания между протонами, а при больших — притяжения. Для того, чтобы развести протоны "бесконечно далеко" друг от друга (что соответствует диссоциации молекулы, вместо которой образуются атомы водорода, покоящиеся на большом расстоянии друг от друга), необходимо затратить энергию около 4.5 эВ.

Далее будет показано (см. стр. 17G), что задача о квантовании уровней энергии двух протонов, обладающих потенциальной энергией П(я), сводится к задаче о квантовании уровней энергии одной квазичастицы, обладающей той же потенциальной энергией П(х). Поскольку вблизи положения минимума любую кривую можно приближенно считать параболой, то основной и первые возбужденные уровни колебательной энергии молекулы водорода должны совпадать с уровнями энергии линейного гармонического осциллятора.

На рисунке слева изображены номера уровней п и сами уровни колебательной энергии молекулы водорода, полученные экспериментально. Спектроскопическими методами найдены расстояния между уровнями, а измерение энергии диссоциации молекулы позволило определить положение границы непрерывного спектра (начинающегося выше 4.5 эВ и не показанного на рисунке) относительно минимальной потенциальной энергии, принятой за начало отсчета энергии.

Оказалось, что основной уровень энергии ("нулевой", соответствующий п = 0) лежит на 0.27 эВ выше минимальной потенциальной энергии, а расстояния между следующими несколькими уровнями приблизительно равны 0.54 эВ. Выше и правее кривая потенциальной энергии начинает сильно отличается от параболы, и расстояния между уровнями уменьшаются. Дискретных колебательных уровней энергии оказывается конечное число, а при энергиях выше энергии диссоциации энергетический спектр становится непрерывным, однако этот спектр описывает уже не локализованные в молекуле водорода атомы, а разлетающиеся после диссоциации молекулы атомы, обладающие произвольной положительной суммарной кинетической энергией.

Осциллятор является хорошей моделью не только для описания колебаний двухатомной молекулы, но и везде, где встречаются локализованные атомы или молекулы. Если атом локализован в молекуле или в кристалле, это означает, что ядро атома находится в потенциальной яме, вблизи дна которой потенциал всегда приблизительно можно считать квадратичным. Такой атом и есть гармонический осциллятор, только уже не линейный, а трехмерный, поскольку может колебаться в пространстве, а не только вдоль фиксированной прямой.

Если вещество нагрето, осцилляторы возбуждены. При понижении температруры вещества атомы-осцилляторы (или молекулы-осцилляторы) будут релаксировать на все более низкие уровни энергии. Но даже если охладить водород практически до нулевой абсолютной температуры (когда водород затвердевает, превращаясь в молекулярный кристалл), то колебательная внутримолекулярная энергия около 0.27 эВ/молекул а сохранится, равно как сохранится и некоторая колебательная энергия молекулы водорода как трехмерного осциллятора в кристалле, соответствующая некоторой другой частоте колебаний молекулы как целого вблизи положения равновесия. Обе эти ненулевые "нулевые" энергии[5] соответствуют собственной волновой функции гамильтониана, дающей ненулевую вероятность обнаружения осциллятора на расстоянии порядка / от положения равновесия, что также регистрируют экспериментально при изучении ширины пиков рентгеновских лучей, дифрагирующих на кристаллах, охлажденных почти до абсолютного нуля. Однако описание подобной методики выходит за пределы настоящего издания. Зато происхождение "нулевой энергии" далее станет более понятным.

  • [1] Если же кто-то предполагает существование последних, то он высказывает гипотезу, рассчитанную на будущие открытия, которых вполне можети нс быть.
  • [2] Однако но мере роста массы осциллятора, как это не удивительнона первый взгляд, квантово-механическое описание осциллятора приводитк описанию классическому. Далее последнее утверждение будет доказано.
  • [3] Четырем статьям (опубликованным в первом полугодии 1926 года), в которых были .заложены основы волновой механики, Шрёдингер дал общееназвание: "Квантование как задача о собственных значениях". Квантование атома водорода Шрёдингер произвел в первой статье, а квантованиелинейного гармонического осциллятора — во второй статье.
  • [4] Проделайте их.
  • [5] Ненулевые, так как значение энергии больше нуля, "нулевые" — так каксоответствуют п = 0 и близкой к нулю температуре кристалла.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >