Об одновременной измеримости наблюдаемых

Как следует из формулы (4.127) положения 4, вероятность обнаружения значения наблюдаемой /„ есть единица, если волновая функция системы с точностью до фазового множителя совпадает с одной из собственных функций оператора F с дискретным спектром: wn(t) = |(^n»^»)|2 = 1- В последнем случае говорят, что наблюдаемая / в некотором состоянии Ф„ имеет строго определенное значение.

Докажем, что для того, чтобы наблюдаемая имела строго определенное значение (то есть единичную вероятность обнаружения) в состоянии Ф, не только достаточно (как это выше было показано), но и необходимо, чтобы волновая функция системы Ф совпала бы (с точностью до зависящего от времени фазового

>?4

множителя) с одной из собственных функций фп оператора F.

Предположим, что система находится в состоянии Ф со строго определенным значением /а. Ясно, что в таком состоянии среднее значение / совпадает с величиной /а, а среднеквадратичное отклонение

равно нулю, поскольку в последнем выражении /—/ = 0, а усреднение тождественного нуля дает, разумеется, нуль.

Величина (А/)2 сама является наблюдаемой, которой по по- ложеиию 2 должен сопоставляться оператор (F — // )2, а по формуле (4.13G) среднее значение (А/)2 должно определяться выражением120

Покажем, что интеграл в правой части последнего равенства есть квадрат нормы функции (F/1 )Ф в силу тождества

где G — произвольный эрмитов оператор, а Ф — произвольная волновая функция из L .

Действительно, так как

го условие (4.G4) эрмиговости оператора G позволяет поменять местами функции иод знаком комплексного сопряжения и под оператором G:

Таким образом, из (4.140) и (4.141) следует тождество, справедливое для любого оператора F и любой волновой функции Ф из L2:

12ь Проверьте, что вычисление среднеквадратичного отклонения по формулам (4.139) и (4.140) дает один и гот же результат.

Поскольку в состоянии Ф с определенным значением /а среднеквадратичное отклонение есть нуль, то из (4.143) получаем (F — //)Ф = 0, так как норма непрерывной функции может быть равна нулю, очевидно, только тогда, когда функция тождественно равна нулю. Следовательно, функция Ф является решением уравнения на собственные значения оператора .РФ = /а Ф, то есть является собственной функцией оператора F, а определенное значение /0 обязано совпадать с одним из собственных значений оператора F, что и завершает доказательство необходимости.

Итак, необходимым и достаточным условием того, что наблюдаемая f в каком-то из состояний имеет определенное значение, является совпадение волновой функции с одной из собственных (функций оператора F.

Тогда закономерна постановка вопроса: возможно ли, чтобы в каком-либо состоянии Ф две разных наблюдаемых / и у имели бы определенное значение, то есть измерение с вероятностью единица давало бы одни и те же результаты и для /, и для F и G, сопоставляемых наблюдаемым / и g, то обе наблюдаемые будут иметь в состоянии Ф определенные значения одновременно.

В свою очередь, два оператора, имеющих общую ортоно|ь мированную систему собственных функций, обязаны быть взаимно коммутативными. Действительно, для каждой собственной функции грп имеем [F, 0фп = 0, так как, очевидно,

Поскольку же произвольную функцию из L2 можно разложить в ряд по собственным функциям фп, то применение коммутатора к произвольной функции Ф тоже даст тождественный нуль.

Верно и обратное: если операторы F и G с дискретным спектром взаимно коммутативны, то они имеют общие собственные функции, образующие полную ортонормированную систему. Однако доказывать последнее утверждение не будем, поскольку оно в дальнейшем не понадобится.

Таким образом, если операторы F и G некоммутирующие, то существуют состояния, в которых наблюдаемые fug одновременно не имеют определенных значений. Последнее означает, что если даже система находится в состоянии Ф. в котором

наблюдаемая / имеет определенное значение, то наблюдаемая д, как правило, в этом же состоянии определенного значения иметь не может. Экспериментально это соответствует тому, что если система "приготовлена" в состоянии Ф, то проведение эксперимента по измерению величины / даст определенный результат с вероятностью единица. Чтобы измерить величину д, вообще говоря, надо проводить совсем другой эксперимент. Поэтому систему вновь "приготавливают" в состоянии Ф, а затем измеряют д, получая при этом разные значения. II наоборот, если измерение величины д в каких-то состояниях с вероятностью единица дает определенный результат, то в других экспериментах по измерению величины / (если система в том же состоянии Ф. что и при измерении д) получится разброс результатов, то есть среднеквадратичное отклонение для / будет ненулевым.

В общем же случае, если система находится в состоянии, когда определенного значения не имеют ни /, пи д, операторы которых не коммутируют, удается получить неравенство, связывающее между собой среднеквадратичные отклонения для величин / и д.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >