Соотношения неопределенностей в волновой механике

Ж

Рассмотрим два эрмитовых оператора F и G, коммутатор которых представим в виде iC, так что

Смысл появления здесь мнимой единицы в том, что оператор С — эрмитов, однако последующее рассуждение не опирается на это свойство С. _

Пусть в состоянии Ф средние значения / и д равны / и 7/, а среднеквадратичные отклонения — (А/)2 и (Ад)2. Введем вме- сто операторов F и G операторы

гак что выражения для среднеквадратичных отклонений в силу (4.140) могут быть записаны в виде

В то же время элементарные выкладки12' показывают, что то есть коммутатор операторов не изменился при переходе от

XV УЧ УЧ УЧ

операторов F и G к оператором Fi и G

Выбрав произвольное вещественное число а, можно образовать новую функцию Ф = а/дФ + iGixV. Поскольку норма любой функции неотрицательна, то всегда (для любых а и Ф) справедливо неравенство ||Ф||2 ^ 0, что в развернутой форме может быть переписано в виде

После перемножения скобок иод знаком интеграла получаем

где были учтены соотношения (4.145).

Интеграл в последнем неравенстве преобразуем[1] [2], восиоль- зовавшись эрмитовостыо операторов F и G

С учетом последнего соотношения неравенство, означающее неотрицательность нормы функции Ф, принимает вид

где мнимая единица была внесена иод интеграл. Поскольку но!ь ма функции — вещественное число, а первый и третий слагаемые в левой части неравенства заведомо вещественные, то и интеграл в последней формуле является вещественным числом, равным своему комплексному сопряжению. Иными словами, комплексное сопряжение интеграла можно убрать, получив неравенство, верное для любых а и Ф:

или, с учетом (4.144)

где С = / Ф*СФ (IV — заведомо вещественная величина.

Сразу отметим, что если операторы F и G взаимно коммутативны, то С = 0, и последнее неравенство справедливо для любых а и Ф, то есть не ведет ни к каким заключениям. Если же операторы некоммутативны, но Ф является собственной функцией любого из операторов F или G. то будет равна нулю одна из величин (А/)2 или (Ад)2, но и величина С будет автоматически равна нулю в таком состоянии, так что неравенство (4.147) снова будет удовлетворено автоматически. Последнее при желании нетрудно доказать, обратившись непосредственно к неравенству (4.146).

Если же операторы некоммутативны, и волновая функция Ф не совпадает ни с одной из собственных функций операторов F

XV

и G, то левая часть неравенства (4.147) должна рассматриваться как квадратный трехчлен относительно произвольной вещественной переменной а. Так как и (А/)2 > 0, и (Ад)2 > 0, то условием неотрицательности левой части (4.147) будет, очевидно, неположительность дискриминанта квадратного трехчлена, то есть выполнение неравенства

или

Если ввести среднеквадратичные отклонения

показывающие разброс в определении наблюдаемых / и д в состоянии, описываемом волновой функцией Ф, не совпадающей ни с одной из собственных функций операторов F и (7, то окончательно получаем неравенство, известное как соотношение неопределенностей12У для наблюдаемых / и д:

Еще раз поясним смысл полученного соотношения. Если одночастичная квантовомехаиическая система приведена в состояние Ф(г,<), а затем проводится измерение наблюдаемой /, то получается какое-то случайное значение величины } с некоторой погрешностью измерения (Л/)ехр, которую считается возможным в пределе считать нулевой (если экспериментатор располагает хорошим оборудованием). Эксперимент завершается, а затем многократно повторяется вновь: система приводится в состояние Ф, после чего измеряется /. Волновая механика предсказывает, что в состоянии Ф получится некоторый разброс результатов (вокруг среднего значения), характеризуемый величиной (A/)rms, что является отражением недетерминированности природы микрообъекта, а не погрешности при однократном измерении (Д/)ехр « (А/) г ms-

Далее ставится другой эксперимент но измерению уже другой наблюдаемой д. однако процедура повторяется: система приводится в состояние Ф, производится измерение д с точностью (А#)ехр, которая в нерелятивистской области мыслится как произвольно малая, и так повторяется много раз. Вновь получается разброс теперь уже наблюдаемой д вокруг среднего значения, характеризуемый величиной (Ag)rms. И соотношение неопределенностей (4.150) для наблюдаемых / и д как раз и говорит о том, что чем меньший разброс результатов в состоянии Ф для одной наблюдаемой, тем больший разброс будет для другой.

Частным случаем (4.150) является соотношение неопределенностей Гейзенберга для декартовой координаты и соответствующей ей декартовой компоненты импульса частицы. Коммутатор операторов х и рх был уже вычислен и определяется выражением (4.59):

‘“''В существующей литературе соотношение неопределенностей называют также соотношением неопределенности.

Сравнивая последнее соотношение с (4.144), получаем для пары

У-Ч

х и рх выражение для оператора С = hi, что дает

для любых волновых функций из L2.

Таким образом, общее соотношение неопределенностей применительно к паре декартова координата—сопряженная ей декартова компонента импульса принимает форму соотношения неопределенноетей Гейзенберга:

Два аналогичных соотношения можно выписать для нар у—Ру и z—pz.

Итак, если микрообъект описывается собственной волновой функцией оператора импульса (де-бройлевской волной), то он ноли ость ю делокализован пространствен но.

Если же, наоборот, микрообъект локализовать строго в точке, то есть привести микрообъект в состояние, описываемое обобщенной собственной функцией оператора координаты (5-функ- цией), то плотность вероятности обнаружения импульса в таком состоянии будет полностью делокализована в пространстве импульсов, где будет равновероятным обнаружение любого значения импульса микрообъекта (последний результат приводится без доказательства для сведения читателя).

Поскольку же операторы координат и импульсов не имеют общих обобщенных собственных функций, то микрообъект не может одновременно иметь определенных значений координаты и сопряженного импульса, что означает, что никакой микрообъект не может находиться в покое относительно инерциальной системы координат. Это и поясняет наличие ненулевой (относительно дна потенциальной ямы) энергии гармонического осциллятора, находящегося в основном состоянии. А соотношение неопределенностей дает добавочный вывод о том, что чем точнее микрообъект локализован, тем большим разбросом импульса он должен обладать.

Рассмотрим для примера основное состояние гармонического осциллятора huj/2. Оказывается, в этом состоянии произведение среднеквадратичных отклонений координаты и сопряженного импульса минимально из всех допускаемых соотношением

(4.151) и равно hj2. Действительно, в соответствии с формулой (4.108) волновая функция основного состояния осциллятора имеет вид

Очевидно, что в состоянии Фо имеем "х = 0 и = 0, так как подынтегральные выражения в соответствующих интегралах являются антисимметричными функциями. Тогда для среднеквадратичного отклонения координаты в состоянии Фо получаем[3]:

Для среднеквадратичного отклонения импульса в состоянии Ф0 получаем выражение

Элементарное вычисление, включающее взятие второй производной от экспоненты (в результате чего получаются опять известные читателю интегралы), дает следующий результат:

откуда видно, что чем меньше величина /, то есть чем точнее локализован осциллятор, тем больше среднеквадратичное отклонение импульса осциллятора. Произведение же среднеквадратичных отклонений (Ax)rms(Apx)nns в состоянии Фо равно, очевидно, hj2. 13 соответствии с соотношением неопределенностей Гейзенберга (4.151) меньшей, чем hj2, величина произведения среднеквадратичных отклонении для любых локализованных состояний быть не может.

Таким образом, одновременно могут иметь определенные значения, как правило[4], только наблюдаемые, операторы которых взаимно коммутативны. Поскольку операторы декартовых координат попарно коммутативны, то одновременно могут иметь определенные значения все три декартовых координаты, то есть вектор г может иметь определенное значение. То же относится и к операторам декартовых проекций импульса, которые все попарно коммутативны. Значит все три декартовы проекции импульса частицы могут одновременно иметь определенные значения, то есть вектор р может иметь определенное значение. Однако из соотношения неопределенностей Гейзенберга следует, что если р имеет определенное значение, то не имеет определенного значения вектор г, и наоборот.

  • [1] Выполните их.
  • [2] Проведите преобразование самостоятельно, пользуясь соотношением(4.64), для чего в первом подынтегральном члене поменяйте местами стоящие под знаком комплексного сопряжения и оператора G функции F4lи Ф соответственно, а во втором члене — стоящие под знаком комплексногосопряжения и оператора F функции С^Ф и Ф.
  • [3] Соответствующий интеграл вычислен в приложении 1, формула (111.15).
  • [4] Далее будет приведен пример оператора момента количества движения,декартовы компоненты которого взаимно некоммутативны, однако существует состояние, в котором все три проекции момента количества движенияодновременно имеют определенное значение.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >