Центр масс тела как квазичастица

Кваитовомеханическое описание правомерно считается универсальным и относящимся к любым материальным объектам. Практически же волновыми функциями макроскопических объектов оперировать затруднительно, так как последние заданы в конфигурационном пространстве громадной размерности. Более того, в рамках классической физики внутренним устройством тел, как правило, не интересуются. Так, в ньютоновской механике движение твердых тел конечного объема разделяется на перемещение центра масс тела и его вращение. Ниже демонстрируется, что волновая механика ведет в точности к тому же описанию перемещения центра масс тела (и тому же описанию его вращения, здесь, однако, не рассматриваемому). Другими словами, второй закон Ньютона, который в классическую физику был введен как гипотеза, в рамках волновой механики получает обоснование, которое говорит о том, что второй закон Ньютона — это следствие детерминированной эволюции (описываемой временим уравнением Шрёдингера) волновой функции макроскопического тела.

Покажем на примере двухчастичной системы, что волновую функцию можно представить как произведение волновой функции, описывающей центр масс системы как квазичастицу с массой, равной массе тела, и волновой функции, описывающей внутреннее устройство тела.

Пусть замкнутая система состоит из двух частиц с массами гп и т2, так что волновая функция системы имеет вид Ф(1Д, г2, t) Гамильтониан двухчастичной системы, если взаимодействие частиц — центральное, зависит как от расстояния между частицами, так и от потенциальной энергии системы во внешнем ноле, и должен иметь вид

где в первом лапласиане дифференцирование подразумевается но координатам первой частицы, а во втором — но координатам второй частицы, г — вектор относительного положения частиц, R — радиус-вектор центра масс системы. Последние определяются равенствами

Радиус-векторы частиц гд и гг легко выразить через переменные R и г:

Преобразуем гамильтониан системы (4.153) от переменных ri и г-2 к переменным R и г, для чего воспользуемся обычным правилом перехода от дифференцирования по одним переменным к дифференцированию по другим переменным. Например, частная производная по х в общем случае должна быть выражена через частные производные новых независимых переменных следующим образом:

Использование векторных равенств (4.154) в скалярной форме показывает, что от ад зависят лишь X и х. Действительно,

В результате выражение для частной производной по Х существенно упрощается:

Для вычисления частной производной второго порядка по х полученный оператор нужно применить дважды:

Аналогичный расчет для х-2 дает

Подобные же соотношения получатся путем замены #1 и Х2 на нары ух, у2 и Z2-

Домиожение вторых производных но х и X2 на величины 1/mi и 1 /п%2 соответственно, а затем последующее сложение приведут к сокращению смешанной частной производной. Повторив те же операции для вторых производных по у, у2 и z. Z2, получим преобразованный к новым переменным гамильтониан системы:

где в первом лапласиане дифференцирование проводится по координатам X, Y, Z, во втором — но х. у, г; М = т+т2 — полная масса системы, а так называемая приведенная масса определяется соотношением

Бели частицы имеют сильно отличающиеся массы т и m2 (как протон и электрон в атоме водорода), то нетрудно видеть, что приведенная масса практически совпадает с массой более легкой из двух частицы.

С формальной точки зрения гамильтониан (4.156) можно рассмотреть как гамильтониан двухчастичной системы, в которой есть две невзаимодействующие фиктивные точечные массы М и /i (называемые поэтому квазичастицами), положение которых задается векторами R и г нового конфигурационного пространства, причем теперь Пех1 (R) трактуется как потенциальная энергия во внешнем поле частицы с массой М, а П(г) — потенциальная энергия во внешнем поле частицы с массой /х. Между собой частицы не взаимодействуют, так как потенциальная энергия не зависит от их взаимного расположения.

Оказывается, определение волновой функции двухчастичной системы, когда между частицами нет взаимодействия, можно свести к двум одночастичным задачам, представив волновую функцию, описывающую две квазичастицы, в виде произведения волновых функций, зависящих лишь от координат каждой из квазичастиц по отдельности (что, разумеется, является отражением факта независимости поведения невзаимодействующих частиц, когда вероятность независимых событий является произведением соответствующих вероятностей):

Подставляя последнее выражение во временное уравнение Шрё- дингера, получим:

Разделив уравнение на произведение а затем перенеся налево все слагаемые, зависящие от R. направо — зависящие от г, получим равенство левой и правой частей, которое может быть удовлетворено в том случае, если каждая из частей равна одной и той же постоянной. Постоянную выберем равной нулю, поскольку ее величина добавляется аддитивным слагаемым к потенциальной энергии, что ведет лишь к изменению фазового множителя перед волновой функцией и не влияет на квадрат модуля функции.

Тогда получается, что волновая функция для каждой из квазичастиц удовлетворяет временному уравнению Шрёдингера для одночастичной систем ы:

Уравнение (4.158) описывает эволюцию волновой функции точечной фиктивной частицы массы А/, находящейся во внешнем потенциальном поле next(R, t). а уравнение (4.159) — эволюцию волновой функции точечной фиктивной частицы массы /х, находящуюся во "внутреннем" потенциальном поле П(г).

После решения соответствующих уравнений волновая функция двухчастичной системы примет вид

Можно показать, что и в общем случае iV-частичной системы полную волновую функцию системы можно представить как произведение одночастичной волновой функции, описывающей точечную квазичастицу с массой, равной массе системы А/, а также волновой функции, эволюция которой определяется лишь взаимодействиями между частицами внутри системы.

Далее убедимся в том, что временное уравнение Шрёдингера (4.158), описывающее эволюцию центра масс тела как точечной квазичастицы, переходит во второй закон Ньютона, а волновая механика Шрёдингера, таким образом, является теорией, переходящей в классическую ньютоновскую механику при описании макроскопических тел!

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >