Полная производная оператора по времени

Введем предварительно понятие производной оператора по времени. Эрмитов onejxunop G назовем полной производной по времени зрмитового onejfamoiKi F и, соответственно, введем обозначение

если для любого состояния Ф производная по времени от среднего значения наблюдаемой f равна среднему значению наблюдаемой д, то есть если

или

где была использована формула для среднего значения наблюдаемой (4.13С).

Определение производной оператора имеет глубокий смысл. Даю в том, что сами наблюдаемые, сопоставляемые операторам, как правило, дифференцировать нельзя, так как они не имеют определенных значений в квантовомеханических системах, описываемых волновыми функциями.

Например, микрообъект может иметь определенный импульс, только если его волновая функция имеет вид волны де Бройля, в противном случае импульс микрообъекта не может быть определен как функция времени.

Другими словами, в квантовой механике наблюдаемая имеет определенное значение, только если система описывается волновой функцией, совпадающей с одной из собственных волновых функций соответствующего оператора. В противном случае наблюдаемая в определенный момент времени не имеет никакого значения, и лишь эксперимент может дать какую-то ее случайную величину, совпадающую с одним из собственных значений оператора. Таким образом, определить производную по времени непосредственно самой наблюдаемой в квантовой механике оказалось невозможным.

Сопоставлять производным но времени от классических динамических переменных эрмитовы операторы и позволяет определение (4.160). Например, если оператору координаты х сопоставить оператор производной но времени, который логично будет назвать оператором декартовой компоненты скорости vx, то среднее значение оператора скорости будет равно производной по времени от среднего значения координаты в любом состоянии.

Определение производной оператора но времени позволяет получить формулу для ее вычисления. Поменяем местами операции дифференцирования и интегрирования в левой части (4.160) и произведем дифференцирование по времени:

где подразумевается, что действие оператора F могло, вообще говоря, зависеть от времени как от параметра132, поэтому полная производная по времени от подынтегрального выражения должна включать в себя и дифференцирование оператора F по времени частным образом.

Далее, воспользовавшись временным уравнением Шрёдинге- ра (и его комплексным сопряжением) для замены под интегралом частных производных волновой функции по времени, получим:

132 Например, таков оператор F = xtl.

Теперь преобразуем первое слагаемое под интегралом в правой части предыдущего равенства следующим образом:

где сначала за знак интеграла было вынесено комплексное сопряжение, а затем было использовано свойство эрмитовости (4.G4) оператора Н, то есть переставлены местами функции под знаками комплексного сопряжения и оператора II, что одновременно убрало комплексное сопряжение интеграла в целом. С учетом последнего преобразования получаем тождество

откуда следует, что

Таким образом, если оператор явным образом не зависит от времени, то его производная по времени равна (с точностью до сомножителя i/h) коммутатору гамильтониана системы и оператора. Применим последнюю формулу для вычисления производной оператора декартовой координаты но времени, которая уже была обозначена как vx.

Поскольку оператор координаты, очевидно, коммутирует с оператором потенциальной энергии, то

Применив оператор — !^п , х к произвольной волновой функ

ции Ф, легко убедиться, что это оператор рх/т, то есть окончательно имеем

Получился вполне разумный результат. Оператор декартовой компоненты скорости оказался равен оператору соответствующей компоненты импульса, деленному на массу частицы, как это и должно быть в классической механике.

Найдем теперь оператор декартовой компоненты силы, сопоставив его производной но времени от оператора декартовой компоненты импульса. Производя несложные преобразования, получим:

Операторные равенства (4.162) и (4.163) известны как первая и вторая теоремы Эренфеста. Смысл этих соотношений становится прозрачным, если учесть, что операторные равенства влекут за собой равенства средних значений. Из (4.162) и (4.163) следует, что для любого состояния 4/

Последние равенства показывают, что квантовая механика привела бы к точному выполнению второго закона Ньютона для средних значений наблюдаемых, если бы в правой части (4.165) вместо средней компоненты силы — дИ/дх стояло бы значение силы в точке х, то есть величина — дН/дхх=х-

Последующее изложение и помогает понять, при каких условиях уравнение (4.165) переходит практически точно во второй закон Ньютона для макроскопических тел, то есть при каких условиях среднее значение силы оказывается практически неотличимо от силы, соответствующей средней координате.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >