Временное уравнение Шрёдингера как обоснование второго закона Ньютона

Общий вывод, который можно сделать применительно к описанию движения макроскопических тел, заключается в том, что динамика их центров масс, рассматриваемых как квазичастицы, определяется настолько хорошо локализованными волновыми пакетами, что это приводит ко второму закону Ньютона, верному настолько точно, что отклонения от законов механики Ньютона при рассмотрении динамики макроскопических объектов экспериментально зафиксированы быть не могут.

Действительно, вспомним, что в произвольном случае, а не только для гармонического осциллятора или свободной частицы, вторая теорема Эренфеста гласит, что

где F(x) — сила, действующая на частицу.

Поскольку квазичастица, соответствующая центру масс макроскопического объекта, описывается весьма сильно локализованным волновым пакетом, то есть среднеквадратичное отклонение центра масс от среднего значения по макроскопическим меркам ничтожно мало, то, разложив силу как функцию kooj>- динаты в ряд Тейлора вокруг среднего значения до второго порядка включительно, получим:

Усреднение ряда Тейлора для силы (с учетом очевидного равенства х — "х = 0) позволяет переписать теорему Эренфеста в еледующем виде:

Как было показано на примере маятника массой в 1 г, квадрат его пространственного среднеквадратииного отклонения в когерентном состоянии порядка И)-*2 м2, поэтому вторым членом в правой части теоремы Эренфеста можно пренебречь по сравнению с первым, получив в точности второй закон Ньютона для центра волнового пакета.

По мере понижения массы объекта размеры волнового пакета, которым может быть описан центр масс как квазичастица, будут постепенно расти, так что условие

является необходимой предпосылкой для классического описания динамики центра масс объекта. Однако выполнения только условия (4.18G) для перехода квантовомеханического описания в классическое недостаточно. Дело в том, что из соотношения неопределенностей Гейзенберга (4.151) следует, что чем меньше величина (Д#)гт8, то есть чем точнее выполняется условие (4.186), тем больше будет среднеквадратичное отклонение импульса, ведущее к ускоренному уширению волнового пакета со временем, а также отклонению величины средней кинетической энергии от классического значения. Действительно, так как оператор кинетической энергии Г = р2/(2М), то для среднего значения кинетической энергии Т = р2/2М, используя формулу Р2 = (Ap)?ms + Р2> получаем:

Поскольку классическое выражение для кинетической энергии определяется, конечно, величиной Т = Jr j(2Л/), то второй член в формуле (4.187) должен быть много меньше первого, давая дополнительное условие перехода квантовомеханического описания в классическое, смысл которого в том, что волновой пакет должен оставаться узким и в пространстве импульсов:

Перемножив неравенства (4.188) и (4.186), получим неравенство

из которого с учетом соотношения неопределенностей Гейзенберга (4.151) получается необходимое (но уже, вообще говоря, не обязательно достаточное) условие, откуда исключены среднеквадратичные отклонения координаты и импульса:

Соотношение (4.189) может удовлетворяться даже для электронов, движущихся в электрических и магнитных нолях, и тогда можно непостижимость поведения электрона с высокой точностью заменить представлением о "классической частице" так как перемещение волнового пакета, хорошо локализованного как в обычном пространстве, так и пространстве импульсов, экспериментально неотличимо от движения точечной массы, определяемого вторым законом Ньютона.

Для макроскопических же тел условие (4.189) выполняется с громадным запасом, поэтому механика Ньютона является следствием волновой механики Шрёдингера в макроскопической области.

При выполнении условия (4.189) и переходе от квантовомеханического описания к классическому, новым смыслом наполняется соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Так как в классической механике центру масс тела сопоставляется одновременно и координата, и сопряженный импульс, то соотношение неопределенностей накладывает ограничение на точность одновременного определения этих величин для одного тела. Как бы точно тело не описывалось вторым законом Ньютона, соотношение неопределенностей (Aa;)rms(Ap)rms ^ hj2 всегда должно выполняться. Это условие несущественно в макроскопической области, но является неизбежным ограничением точности классического описания применительно к микрообъектам при выполнении неравенства (4.189).

Подводя итоги проведенному рассмотрению, следует подчеркнуть, что замечательным образом вероятностное описание недетерминированных микрообъектов переходит в практически детерминированное описание динамики макрообъектов (включая описание вращений твердых тел, здесь не рассмотренного).

Причина кроется в том, что временная эволюция волновой функции описывается строго детерминированным уравнением временным уравнением Шредингера. Из последнего уравнения следует закон Ныотоиа (4.163), но это операторный закон! И уже приближенной формой операторного закона Ныотоиа оказывается классический второй закон Ньютона, выполняющийся в макромире с громадной точностью.

Однако в классической физике закон Ньютона был открыт эмпирически, и его ”происхождение " оставалось загадкой.

Волновая механика Шредингера решила загадку второго закона Ньютона, однако породила загадку временного утонения Шредингера. Именно так и суждено взвиваться естествознанию, когда на место разгаданной загадки встает новая, тоже требующая решения.

В принципиальном же отношении атомная физика и квантовая механика ведут к выводу, что настоящее состояние мира не определяет его будущего состояния однозначно, однако этот общий вывод не препятствует щтктически детерминированному описанию перемещения в npocmjmicmee макроскопических предметов (то же относится к динамике больших совокупностей фотонов, описываемых детерминированными yjxie- нениями Максвелла).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >