Орбитальный момент импульса в волновой механике

Напомним, что Шрёдингер "придумал" волновую механику (то есть четыре положения, изложенные в подразд. 4.4.1) для того, чтобы проквантовать атом водорода, так как энергетический спектр последнего был экспериментально определен и очень точно соответствовал бальмеровским термам, имевшим аналитический вид (4.5).

Однако прежде, чем вслед за Шрёдингером, по открытым им законам волновой механики, проквантовать атом водорода и убедиться, что будет получено блестящее совпадение новой (в 1926 году) теории и эксперимента, необходимо предварительно рассмотреть (ведь сейчас не 1926 год) орбитальный момент импульса как наблюдаемую, которой в квантовой механике должен быть сопоставлен оператор. Далее станет ясно, что рассмотрение орбитального момента импульса является необходимой предпосылкой для "полного" квантования атома водорода.

Как известно из классической механики, в замкнутой механической системе сохраняются полная энергия 8, полный импульс Р, а также полный момент импульса L, называемый иногда моментом количества движения.

По определению, классический момент импульса частицы (относительно центра декартовой системы координат) есть векторное произведение радиус-вектора и импульса частицы:

Если система состоит из нескольких частиц, то полный момент импульса системы есть сумма моментов импульса каждой частицы, го есть момент импульса системы — аддитивная величина138 139.

С учетом положения 2 (о наблюдаемых) в волновой механике моменту импульса должен быть сопоставлен векторный оператор с тремя эрмитовыми компонентами:

Подставляя в (4.191) операторы декартовых координат и проекций импульса (4.124)—(4.125), получим три эрмитовых онера- 139

тора декартовых проекции момента импульса:

Вспомним, что взаимная коммутативность операторов обеспечивает возможность существования общих собственных функций, то есть возможность существования таких состояний, когда соответствующие величины могут одновременно иметь определенные значения. Так, все три оператора проекций импульса попарно взаимно коммутативны, что отвечает возможным состояниям [1] [2]

частицы, обладающей определенным импульсом (то есть вектором с тремя определенными проекциями на оси декартовой системы координат).

Найдем коммутатор [Lx, Ьу], для чего сначала вычислим LxLy, затем LyLx, а потом вычтем вторую величину из первой:

Волновые функции должны быть непрерывно-дифференцируемыми, так как они удовлетворяют временнбму уравнению Шрёдингера, куда (благодаря гамильтониану) входят частные производные второго порядка. Следовательно, волновые функции имеют равные смешанные частные производные, поэтому коммутатор [LX,LX] приобретает компактный вид

Сравнив правую часть последней формулы с (4.194), находим для коммутатора операторов Lx и Ly простое выражение:

Два аналогичных соотношения получаются просто циклической перестановкой координат х, у, z

Неожиданный вывод, к которому привела волновая механика, заключается в том, что операторы проекций момента импульса частицы не коммутируют друг с другом и, вообще говоря, не должны иметь определенных значений одновременно[3]. Ненулевое определенное значение может иметь лишь одна проекция момента импульса из трех. При этом возможные значения декартовой компоненты момента импульса частицы должны совпадать со спектром соответствующего оператора. Так как по соображениям симметрии спектры всех трех проекций должны быть одинаковыми, найдем спектр оператора Lz, для чего предварительно перейдем к сферической системе координат, в которой все вычисления, связанные с моментом импульса частицы, проводить проще.

Как хорошо известно, в сферической системе координат пространственное положение объекта характеризуется длиной радиус-вектора г, проведенного в место нахождения частицы; азимутальным углом $, который радиус-вектор образует с осыо z, а также полярным углом р (то есть углом в полярной системе координат в плоскости ху), который характеризует положение проекции радиус-вектора в полярной системе координат на плоскости ху. Связь между декартовыми и сферическими координатами задают три уравнения:

Производные но сферическим координатам получаются с помощью обычного правила дифференцирования сложной функции, например:

Пользуясь (4.198)—(4.200), вычисляем частные производные по р от ж, у. z и подставляем их в последнее соотношение:

Сравнив последнее выражение с явным видом (4.194) оператора L2, получаем, что

Теперь спектр оператора Lz позволит найти уравнение на собственные значения

где собственное значение Lz оператора Lz обозначено как mzh (чтобы выделить размерную часть, оставив лишь mz безразмерное вещественное число).

Формальное решение уравнения (4.202) находится без труда, так как эго линейное дифференциальное уравнения первого порядка:

где 1ф(г,'д) — произвольная нормированная функция координат г и $, наличие которой обеспечивает квадратичную интегрируемость решения. Произвольность функции ф говорит о том, что различных собственных функций оператора Lz, соответствующих заданному mz, бесконечно много.

Поскольку волновая механика подразумевала однозначность функций Фт. (х, у, z), то увеличение угла на 2тг (то есть возврат в ту же точку декартовой системы координат) не должно было изменять значения функции (4.203), откуда вытекает требование к величине т2:

что с учетом формулы Эйлера означает, что mz может быть только произвольным целым числом. Таким образом, волновая механика предсказала, что любая декартова проекция момента импульса частицы имеет эквидистантный дискретный спектр, причем каждое собственное значение бесконечно вырождено.

Поскольку ось z декартовой системы координат может быть выбрана в любом направлении в пространстве, то полученный результат означает, что измерение декартовой компоненты момента импульса микрообъекта вдоль любого пространственного направления может дать только величину, равную mh, где т — произвольное целое число.

Обратим внимание, что речь идет о моменте импульса микрообъекта, который в классической физике ассоциируется с движением частицы в пространстве, например, с вращением по круговой орбите. Поэтому момент импульса микрообъекта, связанный с его перемещением в пространстве, в волновой механике называют также орбитальным моментом импульса.

Покажем, что если микрообъект описывается волновой функцией (4.203), то есть находится в состоянии с определенной ^-компонентой момента импульса с тг Ф 0, то он не имеет определенных проекций момента импульса на две остальные оси.

Выберем, например, "первый" октант декартовой системы координат [т > 0, у ^ 0, г ^ 0, в котором ip = arctg (у/х),

д = arctg (у/х2 И- y2/z) и подействуем оператором Lx на функцию (4.203). Несложное вычисление соответствующих производных покажет, что

Предположив, что собственная функция ф(г^)егтг<р оператора Lz является в то же время и собственной функцией оператора Lx, необходимо приравнять правую часть последнего равенства величине Нтхфегтх<р (где hmx одно из собственных значений оператора Lx с целым тх) и потребовать, чтобы равенство выполнялось при любых х, у и г. Например, при у = 0 должно было бы тождественно (при любых х и z) выполняться равенство —zrnz = хтх, что, однако, невозможно, так как по условию 7712 Ф 0 •

Следовательно, если проекция момента импульса микрообъ- екта на какое-либо направление в пространстве имеет определенное (ненулевое) целочисленное значение в единицах Л, то проекции момента импульса на любое другое направление в пространстве не могут иметь определенного значения.

Исключение составляет случай тх = ту = mz = 0, реализующийся при любой нормированной волновой функции вида Ф = Ф(г). Непосредственная проверка показывает, что такая функция одновременно является собственной функцией всех трех операторов Lx, Ly и Lz, отвечающей нулевым собственным значениям.

Однако существует как минимум еще один оператор, коммутирующий со всеми тремя операторами проекций момента импульса частицы. Этот оператор соответствует классической величине — квадрату длины вектора момента импульса. Иными словами, природа оказалась так устроена, что величины Lx, Ly и Lz не могут одновременно иметь определенных значений (за исключением нулевых), но одновременно могут иметь определенные значения любая проекция момента импульса (например,

Lz) и величина L2 = L2 + L2 + ll

т1тобы доказать последнее утверждение1'11, введем в рассмот- рение два вспомогательных оператора L+ и L_:

Зная коммутаторы (4.195)—(4.197) проекций момента импуль-

ХЧ. ХЧ XV» XV»

са, нетрудно получить три новых коммутатора [L+,L_], [Lz,L+ и [LZ,L-]. Действительно,

где было учтено ком .мутационное соотношение (4.195). Аналогично получаем

так что

В то же время

Последнее утверждение можно доказать и непосредственно, используя лишь выражения для коммутаторов операторов Lx, Ly и Lz> однако без вводимых операторов L+ и L- далее будет невозможно элементарными методами найти спектр оператора L2.

Кроме того, из уравнений (4.206)—(4.207) следуют равенства

Теперь все готово, чтобы доказать, что В самом деле, с учетом (4.211)

х*ч х*ч х*ч

где для перестановки местами в произведении L+L-Lz операторов L_ и Lz была использована формула (4.210), а для пере-

Х*Ч х*ч х*ч х*ч х*ч

становки местами в произведении LZL+L_ операторов Lz и L+ была использована формула (4.209).

Коммутирующие операторы могут иметь общие собственные функции. Следовательно, закономерна постановка задачи о нахождении собственных функций, которые удовлетворяют системе сразу двух уравнений на собственные значения:

где Л2 А — собственное значение оператора L2; hmz собственное значение оператора Lz; Фдт*(г,$,ф) = тг(г^)^ггПя<^ — собственная волновая функция обоих операторов, определяемая безразмерными величинами А и тг.

Фактически речь идет об определении таких значений А, тг и таких функции ^дт2(г, $), которые позволят удовлетворить первому уравнению системы (4.214). Вообще говоря, для этого необходимо иметь явное выражение для оператора L2. Однако оказывается, что спектр оператора L2 можно определить, используя не его явный вид, а лишь некоторые свойства ранее введенных операторов L+ и L_.

Предположим, что хотя бы при одной паре чисел Л, тг нормированное квадратично интегрируемое решение ФдтДл^^) системы (4.214)—(4.215) существует.

Тогда числа Л и mz должны удовлетворять неравенству

являющемуся следствием тождества (4.141), из которого может быть получено очевидное неравенство:

так как квадрат нормы любой функции неотрицателен.

Последнее неравенство имеет простую интерпретацию: среднее значение д2 неотрицательной наблюдаемой д2 не может быть отрицательным.

Если в это неравенство подставить вместо оператора G2 оператор L2 — L2 = L2 + L2, а вместо произвольной волновой функции подставить общую собственную функцию операторов L2 и Ьг, то получим неравенство Л — т2 ^ 0, верное Оля любого решения системы (4.214)—(4.215). Классический аналог полученного результата очевиден: квадрат проекции вектора не может быть больше квадрата модуля вектора.

Неравенство (4.21G) накладывает при заданной величине А ^ О ограничение на возможные целые значения тг, которые должны лежать внутри интервала [mmi„(A), ramax(A)], где целые числа mmin(A) и mmax(А) — это минимальное и максимальное целые числа, еще удовлетворяющие неравенству (4.216).

Определение собственных значений оператора L2, то есть его спектра, производится следующим образом. Допустим, что при некоторой величине А система (4.214)—(4.215) имеет142 нетривиальные решения, соответствующие возможным целым значениям т2 из интервала [wmjn(A),mmax(A)].

Определить спектр оператора L2 помогает одно важное свойство операторов L+ и L-, а именно их способность преобразовывать одно решение системы (4.214)—(4.215) в "соседнее" решение системы или в нуль.

Для определения спектра применим операторы L+ и L_ к левой и правой частям системы (4.214)—(4.215).

142Далее будет показано, что подобные решения действительно существуют, и это завершит все рассмотрение.

Предварительно рассмотрим свойства волновой функции, образованной применением оператора L+ к любым возможным собственным функциям оператора L2.

Итак, пусть Фа — решение уравнения L2Фа = Л2АФа- Тогда функция L+ Фа также будет решением того же уравнения на собственные значения, принадлежащим тому же значению А. Действительно, так как оператор L2 коммутирует с любым из операторов Lx, Ly и Lz, то он коммутирует и с операторами L+ и L_ как с линейными комбинациями двух первых операторов.

Тогда имеем Z/2(L+Фа) = L+(L Фа) = /*2А?+Фа, где первое равенство в цепочке получено благодаря взаимной коммутативности операторов, а второе благодаря тому, что Фа — собственная функция оператора L2, принадлежащая значению А. Сравнивая левую и правую части последней цепочки, убеждаемся, что функция L+ Фа может быть нетривиальным или тривиальным решением уравнения на собственные значения оператора L2. Если решение L+ Фа нетривиальное, оно автоматически принадлежит тому же собственному значению, что и функция Фа- Очевидно, что все предыдущее рассуждение не изменилось бы, если бы было рассмотрено действие оператора L_ на собственную функцию оператора L2.

Теперь рассмотрим свойства волновой функции, образованной путем применения оператора L+ к любым возможным собственным функциям оператора Lz.

Обратимся к функции Т+Фт. (где Фт. — собственная функции оператора Ьг, то есть функция, удовлетворяющая уравнению Т2Фт2 = ^.2/|Фтг) и изучим действие оператора Ьг на нее. С учетом коммутационного соотношения (4.209) получаем цепочку равенств

из которой следует, что функция L+ ФШг является нетривиальным или тривиальным решением уравнения на собственные значения оператора Lz, принадлежащим собственному значению г + l)fr. Если получится нетривиальное решение, то это означает, что оператор L+ преобразовал собственную функцию, принадлежащую собственному значению mzh, в собственную функцию, принадлежащую собственному значению (гпг + 1 )h, то есть

увеличил число тг на единицу. Теперь становится понятным и знак "плюс" в L+.

Если же совершенно аналогично рассмотреть действие оператора L_ на функцию Фт., то образуется похожая цепочка равенств, только вместо коммутатора (4.209) нужно будет применить коммутатор (4.210), получив в результате равенство

/V ХЧ XV

Ьг(Ь-Фш*) = (шг - 1)Й?-Фт*» говорящее о том, что онера- тор L- преобразует собственную функцию оператора Lz, принадлежащую собственному значению mzh, либо в собственную функцию того же оператора Lz, но принадлежащую собственному значению (mz 1 )/г, либо в тривиальное решение, то есть тождественный нуль. Становится понятным также и знак "минус" в L-.

Вернемся теперь к системе уравнений (4.214)—(4.215), и подействуем оператором L+ на решение этой системы, соответствующее максимально возможному при заданном Л значению тпг = ш ах (А). Пусть Флттах — соответствующее решение. Тогда функция L+ Фдштах будет по-прежнему решением первого уравнения (4.214), то есть собственной функцией оператора L , соответствующей тому же самому Л. В то же время эта же Функ-

х-ч

ция Т+ФЛттах будет и решением второго уравнения (4.215), но при mz = Шщах + 1. Поскольку, с другой стороны, нетривиальных решений системы при mz > штах быть не может, то

это означает, что функция Т+Флттах наверняка является тождественным нулем, то есть тривиальным решением уравнения

хч хч хч

Ьг(Ь+Фдтшах) = (тшах + 1)/?Х+ФЛтшах • Другими словами говоря,

Аналогично применяя оператор L_ к функции с минимально возможным значением mz = пгтш, получим, что

Теперь осталось только вычислить результат действия оператора L2 на функции Флттах 11 ФAm„,jn • Действительно, использование равенства (4.212) дает

а использование равенства (1.211) дает

Сравнение равенств (4.219) и (4.220) показывает, что

или

Поскольку первый сомножитель заведомо больше единицы, то получается, что максимальное и минимальное собственные значения оператора Lz при заданной величине Л одинаковы по модулю, но противоположны но знаку.

Максимальное значение величины целого числа та- при заданной величине А обозначают буквой I. Тогда возможные значения величины Л немедленно получаются из выражения (4.219):

Этим фактически завершено квантование оператора квадрата момента импульса L2. Оказалось, что если собственные функции этого оператора и существуют, то они могут соответствовать только дискретным значениям Л = /?2/(/ 4- 1), где / — неотрицательное целое число.

То, что при таких собственных значениях нетривиальные собственные функции действительно существуют, можно показать, установив явный вид оператора L2 и найдя соответствующие решения. л

Чтобы найти явный вид оператора L2, воспользуемся его определением L> = Ll + Ll + Ll, в которое подставим явный вид

/V ХЧ УЧ

операторов Lx, Ly, Lz, задаваемых выражениями (4.192)—(4.194). Операция возведения операторов в квадрат позволяет получить равенство

Добавив и вычтя из правой части последней формулы величину х2д2/дх2 + у2д2/ду2 + z2&2 jdz2, нетрудно показать113, что получается выражение

где г2 = х2 + у2 + z2, Л — оператор Лапласа. Заметив далее1'14, что

получаем следующее выражение для оператора L2:

или

так как

в чем легко убедится непосредственно.

Если теперь воспользоваться известным из математики видом оператора Лапласа в сферических координатах

?2

то можно получить выражение для оператора L, определяемое только углами сферической системы координат:

113Для этого достаточно произвести возведение в квадрат в полученном выражении и убедиться, что его правая часть совпадает с предыдущей формулой для L2.

Это тождество получается, если выразить частную производную по г через производные по декартовым координатам и учесть соотношения (4.198)— (4.200).

Другими словами, оператор квадрата модуля момента импульса представляет собой "угловую" часть лапласиана в сферической системе координат, что позволяет' получить следующее выражение для оператора Лапласа

которое будет использовано далее при квантовании атома водорода.

Решение системы уравнений (4.214)—(4.215) на собственные значения операторов L2 и Ь~ будет завершено, если будут найдены нетривиальные собственные функции, соответствующие найденным собственным значениям. Возможные собственные зна- чения hr 1(1 + 1) оператора ?л были определены выше, вид собственных функций оператора Ьг задает уравнение (4.203) при целочисленной величине тг, которую будем далее обозначать без индекса просто как т.

Целое число /, определяющее возможные диск!>етные собственные значения квадрата момента импульса, называется орбитальным квантовым числом, а целое число т, определяющее возможные дискретные значения проекции момента импульса на любую пространственную ось, называется магнитным квантовым числом. Смысл этих названий станет ясен после того, как будет проквантован атом водорода.

  • [1] Момент импульса замкнутой системы сохраняется потому, что пространство изотропно. Импульс сохраняется потому, что пространство однородно, а энергия потому, что время однородно.
  • [2] См. задачу 4.10.
  • [3] Как далее станет ясно, исключение представляет лишь случай Lx = 0,Ly = 0 и Lz = 0.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >