Характеристика квазистационарных состояний водородоподобных ионов

Поскольку в силу (4.25G) и (4.257)

где го и г есть ранее введенные соотношениями (4.249) и (4.250) параметры с размерностью длины , уравнение для вычисления радиальной части волновой функции (4.251) принимает вид

Из проведенной выше процедуры определения спектра гамильтониана водородоподобного иона следует, что подлежащие определению функции Rni являются произведением экспоненты е 2, и полинома степени / + пг, где безразмерная переменная д

В свою очередь, из масштаба длины г принято выделять заряд ядра Z в качестве множителя, получая для водородоподобного иона

Физический смысл величины а, называемой воровским jkiOuij- сом, будет указан ниже.

Явный вид нужных решений уравнения (4.265) определяется через так называемые присоединенные полиномы Лагерра[1] [2] L*(ar), задаваемые для неотрицательных целых п и к выражением

где, в свою очередь, полиномы Лагерра Ln(x) определяются выражением

Первые несколько полиномов Лагерра имеют вид Lo(x) = 1, L](x) = 1-х, Ь’2{х) = l-2x + x[3] [4]/2, L^(x) = 1 — Зх+Зх[4]/2 — х[6]/6.

Удовлетворяющие нормировочному условию (4.232) решения У1)авнения (4.247) имеют вид

Окончательно с учетом (4.231) получаем, что нормированные волновые функции, являющиеся общими волновыми функциями гамильтониана водородоподобного иона, операторов квадрата момента импульса и проекции его на ось z, а также оператора

1 rii

четности , имеют вид

где радиальная часть определяется выражением (4.269), а сферические гармоники — выражением (4.233).

Поскольку собственные функции фп{т гамильтониана, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны, то

Любую волновую функцию xV(x, у, z,t.) из L[4] можно разложить в тройной ряд по функциям фп1т(г,однако подробнее на этом вопросе останавливаться ие будем. В соответствии с (4.78) волновые функции, удовлетворяющие временному уравнению Шредингера для квазичастицы с приведенной массой, находящейся в состоянии с определенной энергией, квадратом момента импульса и его проекцией па ось z, имеют вид

Общие собственные функции зависят от трех целых чисел п, / и т, называемых главным квантовым числом, орбитальным квантовым числом и магнитным квантовым числом соответственно. Причем одному и тому же уровню энергии ?п, определяемому только главным квантовым числом, соответствует, вообще говоря, несколько линейно-независимых волновых функций с разными / и т. Найдем число различных волновых функций при неизменной величине п, то есть степень вырождения дп уровня энергии ?п.

Из соотношения (4.257) следует, что I = n — nr 1. Поскольку радиальное квантовое число может принимать любые значения от 0 до п — 1, то при заданной величине п орбитальное квантовое число / также может принимать любые значения от 0 до п — 1. В свою очередь, при фиксированной величине I. магнитное квантовое число т может принимать 21 -Г 1 значение от —/ до +/. Таким образом, степень вырождения уровня п будет определяться суммой

V

что легко доказывается с помощью математической индукции.

Невырождено только основное состояние водородоподобного иона при п = 1, / = 0, т = 0. При п > 1 присутствует как /г-кратное вырождение но орбитальному квантовому числу (это вырождение называют случайным, так как оно характерно только для кулоновского потенциала), а также (21 Н- 1)-кратиое вырождение по магнитному квантовому числу, связанное с изотропностью пространства. Полная степень вырождения те2, хотя далее эта цифра будет удвоена из-за наличия у электрона иолу целого спина, о чем вскоре узнает читатель. Таким образом, 9п = 2п2.

В частности, для атома водорода (Z = 1) первые несколько общих ортонормированных ВОЛНОВЫХ функций ’Ipnlmi1', V?)> определяемых уравнением (4.270), имеют следующий вид:

Исторически состояния с определенным квадратом момента импульса (то есть с определенной величиной /) стали обозначать буквами латинского алфавита. Так, состояние с / = 0 обозначают буквой s, с I = 1 — буквой р, с / = 2 — буквой с/, с / = 3 — буквой /, далее используют последовательные буквы латинского алфавита, в результате получается следующее сопоставление:

/=012345678 9 10 11 12 13 14

s р d / д h г к I. гп п о q г t

Перед буквой, заменяющей численное значение /, пишут величину главного квантового числа, так что обозначение Is подразумевает состояние с п = 1, / = 0. Таким образом, квазиста- ционарные состояния водородоиодобного иона имеют следующие стандартные обозначения:

Как уже отмечалось выше, волновые функции (4.270) определяют состояние квазичастицы с приведенной массой, что позволяет найти плотность вероятности обнаружения электрона относительно протона, то есть в неинерциальной системе координат. Электрон же в атоме водорода вообще не находится в чистом состоянии, описываемом волновой функцией, зависящей лишь от координат электрона в инерциальной системе координат. Однако из-за того, что масса ядра много больше массы электрона, приближенно протон отождествляют с центром массы атома, а электрон принимают находящимся в чистом состоянии, описываемом одной из волновых функций (4.270).

Радиальное распределение плотности вероятности обнаружения электрона между двумя сферами радиусов г и r--dr определяется величиной

так как / |Y/m($, tp)2dQ = 1.

В частности, для основного состояния атома водорода

Радиальное распределение плотности вероятности обнаружения электрона относительно ядра для некоторых состояний атома водорода как функция радиуса, выраженного в единицах боровского радиуса а = 0.53 А

Рис. 4.41. Радиальное распределение плотности вероятности обнаружения электрона относительно ядра для некоторых состояний атома водорода как функция радиуса, выраженного в единицах боровского радиуса а = 0.53 А

Нетрудно убедиться, что радиальная плотность вероятности в основном состоянии достигает максимума при боровском радиусе г = а = 0.53 А. Вблизи ядра радиальная плотность вероятности обнаружения электрона близка к нулю несмотря на то, что волновая функция на ядре максимальна. При удалении от ядра плотность вероятности обнаружения электрона экспоненциально убывает.

Па рис. 4.41 для нескольких нижних состояний атома водорода изображено радиальное распределение плотности вероятности dw/dr, определяемое формулой (4.274). По мере возбуждения атома количество максимумов радиальной плотности вероятности растет (число максимумов для «-состояний равно гс), причем абсолютный максимум — последний, все более удаляющийся от ядра.

Радиальная плотность вероятности в состоянии nl в смысле количества максимумов ведет себя подобно радиальной плотности состояния (n —1)(/— 1), то есть радиальная плотность состояния 3d является более размытой и смещенной в область больших радиусов версией радиальной плотности 2р, а последняя, в свою очередь, есть более размытая и более удаленная от ядра версия ls-состояния.

Угловая зависимость квадрата модуля сферических гармоник |У/т|($) (ось г направлена вертикально вверх)

Рис. 4.42. Угловая зависимость квадрата модуля сферических гармоник |У/т|2($) (ось г направлена вертикально вверх)

Однако только радиальная плотность вероятности характеризует состояние не полностью, так как плотность вероятности

обнаружения электрона в пространстве резко анизотропна, если атом находится не в 5-состоянии. В последнем случае, помимо радиальной плотности вероятности, состояние характеризуются и угловым распределением плотности вероятности как функции угла д (нетрудно понять, что от угла зависимости нет, поскольку квадрат модуля волновой функции от угла ip не зависит).

На рис. 4.42 показаны кривые, построенные таким образом, что длина отрезка, отложенного иод углом д к вертикали, пропорциональна квадрату модуля соответствующей сферической гармоники Yim2($) (коэффициент пропорциональности не зависит от /, т и ??., поэтому на рисунке переданы относительные размеры угловых распределений без учета вклада от радиальных множителей |/?71/|2).

Пространственно угловым распределениям соответствуют осесимметричные фигуры, получающиеся из изображенных на рисунке кривых вращением вокруг вертикальной оси (например, 5-состояниям соответствуют сферы). Из рисунка видно, что плотность вероятности локализации электрона концентрируется в определенных направлениях в пространстве. В целом же пространственное распределение вероятности играет важную роль при определении взаимодействия между атомами, а также при рассмотрении образования связей в молекулах.

В основном состоянии атома водорода его внутренняя энергия минимальна и определяется выражением (4.258) при Z = 1 и п — 1:

Абсолютное значение 8 практически совпадает с внесистемной единицей измерения энергии ридбергом Ry ~ 13.6 эВ, получающимся из ? | при подстановке вместо р массы электрона тс. Один ридберг по порядку величины соответствует энергии ионизации атомов и молекул.

Вычислим средние потенциальную и кинетическую энергии электрона в основном состоянии. Сре;щяя потенциальная энергия определяется выражением П = J Вычисление

интеграла затруднений не представляет и дает для средней потенциальной энергии электрона в атоме водорода, находящегося

155

См. задачу 4.13.

в основном состоянии, значение

Получился вполне разумный результат, если учесть, что радиальная плотность вероятности обнаружения электрона в этом состоянии атома водорода максимальна при г = а. Подстановка в последнее выражение а из (4.249) показывает, что средняя потенциальная энергия электрона в атоме водорода, находящегося в основном состоянии, будет равна —2 Ry = —27.2 эВ. Тогда, поскольку, очевидно, ? = Т + П, средняя кинетическая энергия электрона в атоме водорода, находящегося в основном состоянии, составит Ry = 13.6 эВ. Как видно, средняя потенциальная энергия по абсолютной величине вдвое превышает среднюю ки-

1 riTi

нетнческую энергию электрона .

Средняя кинетическая энергия электрона в атоме водорода, находящегося в основном состоянии, составляет Ry, или 13.6 эВ, что подтверждает правомерность использования нерелятивистского подхода к описанию атома водорода.

Бели же рассмотреть водородоиодобный ион урана, то есть девяностооднократно заряженный ион урана U[8]+, то наиболее вероятным радиальным удалением электрона от ядра будет расстояние г 1 = ai/92 = 575 Фм, что всего в 98 раз больше радиуса ядра урана, который можно вычислить по формуле (2.172) подраздела 2.9.5. В то же время средняя кинетическая энергия электрона в водородоподобном ионе урана, находящемся в основном состоянии, в соответствии с формулой (4.258) будет составлять (92У Ry ~ 115.1 кэВ, что равно около 20% энергии покоя электрона и указывает на то, что нерелятивистское приближение в последнем случае может рассматриваться лишь как нулевое приближение, нуждающееся в поправках.

Квадрат момента импульса и его проекции на любое направление в пространстве в основном состоянии водородоподобного иона равны нулю. В классической физике нулевым моментом импульса может обладать либо покоящаяся частица (но средняя кинетическая энергия электрона в атоме водорода 13.6 эВ), либо движущаяся строго по радиусу частица. В то же время радиальная плотность вероятности регистрации электрона в основном состоянии сферически симметрична и имеет максимум при бо- ровском радиусе 0.53 А.

Между тем, широко распространено заблуждение (возникшее еще до возникновения квантовой механики и закрепившееся благодаря преподаванию в течение длительного времени непоследовательного подхода Бора к описанию атома водорода), что будто бы электрон в атоме водорода, находящемся в основном состоянии, вращается по окружности[9], радиус которой 0.53 А.

Но электрон нельзя рассматривать как классическую частицу и философски умозаключать, что "как-то электрон в атоме движется" , что неосознанно делает большинство учащихся.

Более того, квантовая механика говорит о том, что электрон в водородоподобном ионе не находится в состоянии ни с определенными координатами, ни с определенными проекциями импульса, и, как недетерминированный объект, вообще не "имеет" пи координат, пи импульсов как функций времени, а, значит, не "имеет" и траектории.

Ведь если бы в момент времени t электрон имел бы координаты x,y,z, то с вероятностью единица был бы обнаружен в соответствующей точке. Координаты электрон обретает лишь при взаимодействии с детектором, после чего координаты детектора объявляются координатами электрона, не более того.

В квантовой механике вопрос о том, как движутся недетерминированные объекты, с повестки дня снят.

Чтобы ставить такой вопрос, нужно уметь непрерывно "следить" за электроном. А этого никто не умеет делать. Значит, и задавать подобный вопрос бессмысленно. По крайней мере, при современном уровне знаний.

На все разумно поставленные вопросы квантовая механика дает прекрасно согласующиеся с экспериментом ответы.

  • [1] Причем параметр го оказался целым кратным от параметра п.
  • [2] Извсстны также многочлены Лагер]Н1 Ьп(х), определенные для целыхп и вещественных а > —1. Присоединенные полиномы Лагерра L* (.т) несовпадают с многочленами Лагерра Ь^{х) при к = а.
  • [3] "При инверсии относительно начала координат все декартовы коорди
  • [4] наты меняют свой знак. В сферической системе координат, как нетруднопонять, при инверсии г не меняется, угол i) преобразуется в угол 7r — i),а угол f — в угол 7М-f. Тогда из определения сферической гармоники мож
  • [5] наты меняют свой знак. В сферической системе координат, как нетруднопонять, при инверсии г не меняется, угол i) преобразуется в угол 7r — i),а угол f — в угол 7М-f. Тогда из определения сферической гармоники мож
  • [6] но получить, что У}ш(тг — ?'?, 7г + ) = (—l)*YJm(я?, <р), так что при четных /волновые функции (4.270) четные, а при нечетных I — нечетные.
  • [7] наты меняют свой знак. В сферической системе координат, как нетруднопонять, при инверсии г не меняется, угол i) преобразуется в угол 7r — i),а угол f — в угол 7М-f. Тогда из определения сферической гармоники мож
  • [8] 150Последний результат является следствием более общей теоремы vupua-ла, гласящей, что в любой системе покоящихся ядер средняя кинетическаяэнергия нерелятивистской электронной системы равна половине абсолютного значения средней потенциальной энергии электронной системы.
  • [9] Однако в классической физике вращающаяся частица имеет максимальный при данной кинетической энергии момент импульса, тогда как моментимпульса электрона относительно протона в атоме водорода в основном состоянии равен нулю. Если попытаться создать модель поведения "классической" частицы, движущейся по траектории и обладающей такими же характеристиками движения, как электрон в атоме водорода в основном состоянии, то картинадолжна быть следующей: частица может двигаться только вдоль лучей, исходящих из центра протона, причем на удалении 0.53 А от протона должнапроводить максимальную долю времени, затем возвращаться в центр протона, останавливаться, после чего начинать движение вдоль другого луча,и, постоянно меняя таким образом лучи движения, в среднем "изотропно"побывать во всех окрестностях протона.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >