Уравнение Шрёдингера для бесспиновой частицы в магнитном поле

Ясно, что магнитное ноле должно влиять на электрон в атоме водорода, причем такое влияние будет, даже если отвлечься от наличия у электрона спина. Ниже и произведен учет влияния магнитного поля на электрон в атоме водорода в приближении нулевого спина у электрона (называемого в таком случае бссснн- новым).

Итак, выясним, как влияет магнитное иоле на уровни энергии одноэлектронной бесспиновой системы, описываемой уравнением Шрёдингера, для чего рассмотрим гамильтониан бесспиновой частицы Нт при наложении на систему магнитного поля.

Из механики известно, что функция Гамильтона заряженной частицы, находящейся в магнитном поле, имеет вид

где // и q — масса и заряд частицы, Р — так называемый обобщенный импульс частицы, П(г, t) — потенциальная энергия частицы в потенциальном поле (каковым является, как известно, электрическое поле), А — векторный потенциал поля, ротор которого равен индукции магнитного поля:

Для статического однородного магнитного ноля (направляя вдоль которого ось 2, получим В = Bzк), в качестве векторного потенциала можно выбрать функцию

где i, j, k — орты декартовой системы координат177 178.

Не останавливаясь на обосновании того, что обобщенному импульсу в квантовой механике соответствует тот же оператор, что и обыкновенному импульсу, сопоставим по обычному правилу функции Гамильтона (4.330) гамильтониан

где р — оператор импульса, компоненты которого определяются соотношениями (4.124).

Возведение в квадрат члена в скобках в правой части (4.333) должно дать самосопряженный оператор. Так как векторный потенциал является функцией декартовых координат, он, вообще говоря, не коммутирует с оператором импульса, однако решение задачи 4.6 позволяет понять1'8, что самосопряженным должен быть оператор

[1] [2]

В гамильтониане (4.334) для бесспиновой заряженной частицы, учитывающем действие однородного статического магнитного ноля, появились два новых члена: один — линейный по векторному потенциалу, а другой — квадратичный.

Убедимся, что в статических магнитных нолях квадратичный но векторному потенциалу член дает пренебрежимо малый вклад в энергию состояния. Для этого воспользуемся оценкой векторного потенциала А ~ В-ai, которая следует из (4.332), если в это выражение вместо координат подставить величину боровского радиуса сц = 0.53-10“10 м как характерную область, в которой сосредоточена плотность вероятности обнаружения электрона в атоме водорода. Тогда не представляет труда убедиться, что при Bz = 1 Тл величина е2Bdj(2те) ~ Ю“10 эВ. Столь малой величиной (на 11 порядков меньшей абсолютного значения энергии основного состояния атома водорода) можно пренебречь по сравнению с гораздо большими эффектами, о которых пойдет речь ниже. Далее квадратичный по магнитному нолю член в (4.334) учитывать не будем.

Раскрыв действие оператора рА + Ар на волновую функцию ?ф(г) с учетом явного вида оператора импульса р и явного вида (4.332) векторного потенциала, получим:

где было использовано определение (4.194) оператора Ь2. Последнее соотношение показывает, что ранее был выбран именно самосопряженный оператор рА + Ар, который с точностью до вещественного множителя оказался просто оператором декартовой проекции орбитального момента импульса.

Таким образом, гамильтониан бесспиновой частицы в постоянном магнитном поле принимает окончательный вид

Два первых слагаемых в гамильтониане (4.335) описывают одноэлектронную систему в отсутствие магнитного поля, а последний член отвечает наложению на систему постоянного магнитного поля, направленного вдоль оси г, индукция которого имеет величину Bz.

Энергия водородоподобного иона в постоянном магнитном поле в бесспиновом приближении

Определение вида гамильтониана, описывающего одноэлектронную бесспиновую систему в магнитном поле, позволяет решить вопрос о влиянии постоянного внешнего магнитного поля на уровни энергии водородоподобного иона. Помещение последнего в однородное статическое магнитное поле добавляет к гамильтониану (4.246) дополнительный член из (4.335), в результате имеем

где Hfl гамильтониан (4.246) водородоподобного иона в отсутствие внешнего магнитного поля, и было учтено, что заряд электрона q = — е.

В разд. 4.6 было показано, что гамильтониан водородонодоб- ного иона в отсутствие магнитного поля взаимно коммутативен как с оператором квадрата момента импульса L2, так и с оператором проекции момента импульса Ьг. Так как последние два оператора взаимно коммутативны, а сам с собой коммутирует любой оператор, то очевидно, что и гамильтониан (4.336) взаимно коммутативен с операторами L2 и Lz. Поэтому гамильтониан

(4.336) должен иметь общие собственные функции с операторами

L2 и L., как это имело место и для гамильтониана водородоподобного иона (4.246) в отсутствие магнитного ноля.

Таким образом, задача квантования гамильтониана (4.336) сводится к подстановке общих собственных функций операторов

л г) */-v

L“ и Lz в уравнение на собственные значения

Подстановка одной из общих собственных функций операторов квадрата момента импульса и ^-проекции орбитального момента импульса1'9 ф = Я(г)У/тД^, ip), а также учет действия на последнюю оператора Lz (Lzip = пцНф) показывают, что уравнение на собственные значения гамильтониана водородоподобного нона в постоянном магнитном поле сводится к задаче на собственные значения гамильтониана водородоподобного иона без 179 [3]

магнитного поля, но с видоизмененной энергией:

где гщ — магнитное квантовое число.

Квантование водородоподобного иона с "бесспииовым" электроном было выполнено в разд. 4.G, откуда в качестве решения задачи на собственные значения гамильтониана (4.337) получаем: в магнитном поле вырождение по магнитному квантовому числу уровней энергии водородоподобного иона с "бесспиновым" электроном снимается, и уровни расщепляются на 21 4- 1 подуровень, энергия которых определяется выражением

где квазистациоиарные уровни энергии водородоподобиого иона определяются выражением (4.258), и было использовано определение магнетона Бора (4.319).

Итак, в бесспиновом приближении оказывается, что внешнее постоянное магнитное поле не влияет на уровни энергии водородоподобного иона в s-состояниях, поскольку в последних I = О и пц = 0.

С учетом же спина электрона окажется (см. следующий под- разд.4.7.2), что во внешнем постоянном магнитном поле уровни энергии s-состояний водородоподобного иона ]ю,сщепляются на два подуровня, отстоящие от уровня энергии состояния в отсутствие магнитного ноля на величину В частности, при

Bz = 1 Тл изменение энергии 6-уровня водородоподобиого иона HbBz = 0.575 • 10”4 эВ, что на б порядков превышает эффект, даваемый ранее отброшенным квадратичным членом, и может быть зафиксировано спектроскопическими методами.

  • [1] Проверьте, что векторный потенциал (4.332) действительно соответствует постоянному магнитному полю с единственной компонентой вдоль оси z.
  • [2] Далее самосопряженность полученного оператора станет очевидной.
  • [3] См. стр. 222.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >